Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 74

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das Integral

$\int _{Q}xy\,d\lambda ^{2}$

über dem Quader ${}Q=[a,b]\times [c,d]$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen ${}1$ und ${}3$. Berechne das Integral

$\int _{G}x^{2}+xy-y^{3}\,d\lambda ^{2}.$

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ${}M$ ein Mengen-Präring ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei

$g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung

${\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \int _{T}g\,d\mu$

ein Maß auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf dem Quadrat ${}Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q))$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Berechne die Integrale

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$,

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion ${}f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))$ über dem Rechteck ${}Q=[0,3\pi ]\times [0,1]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\frac {2uv}{(u^{2}+1)(v^{2}+v+1)}}.$

Für welche Quadrate ${}Q=[a,a+1]\times [b,b+1]$ der Kantenlänge ${}1$ wird das Integral

$\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}$

maximal? Welchen Wert besitzt es?

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf den beiden Quadraten ${}Q_{1}=[0,1]\times [0,1]$ und ${}Q_{2}=[1,2]\times [1,2]$. Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))$ und für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))$?

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ zur Abbildung ($n\geq 1$)

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

a) Zeige, dass ${}\mu$ ein ${}\sigma$- endliches Maß auf ${}\mathbb {R}$ ist.

b) Zeige, dass ${}\mu$ bezüglich ${}\lambda ^{1}$ die Dichte

$h(t)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}t<0\,,\\n\beta _{n}t^{n-1}{\text{ falls }}t\geq 0\,,\end{cases}}$

besitzt, wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.