Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 83/latex
\setcounter{section}{83}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} $T\varphi$ zu \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2y-3xz^3+y^2,x \sin y -e^{yz}) } {} unter Verwendung der Identifizierungen \mathkor {} {T\R^3 =\R^3 \times \R^3} {und} {T\R^2 =\R^2 \times \R^2} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {}
\definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine orientierte Mannigfaltigkeit ist
\zusatzklammer {wobei die Orientierung von der Ordnung auf \mathlk{\{1,2\}}{} abhängt} {} {.}
}
{} {}
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Diese heißt $\varphi$ \definitionswort {orientierungstreu}{,} wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T\varphi} { T_PM } { T_{\varphi(P)} N
} {}
bijektiv und
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {antipodale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1} {S^1 } {P} {-P } {,} \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {\varphi} {M \times M} {M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} bezüglich der jeweiligen \definitionsverweis {Produktorientierungen}{}{} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass man auf
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
erklären kann, bei der für jede Karte
\maabb {\alpha} {U} {V
} {}
die Abbildung
\maabbdisp {} {\bigwedge^k T^*U} { \bigwedge^k T^*V \cong V \times \bigwedge^k \R^{n*}
} {}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
ist.
}
{} {}
Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mathl{{ \mathcal E }^{ k } ( M )}{} die Menge der
$k$-\definitionsverweis {Formen}{}{}
auf $M$. Zeige, dass ${ \mathcal E }^{ k } ( M )$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ C^0(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C^1(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{,}
der durch einen differenzierbaren Weg
\maabbdisp {\gamma} {{]{-\delta},\delta [}} {M
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(df)(P,v)
}
{ =} { (f \circ \gamma)'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{i: M\subseteq \R^n}{} eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{.}
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i^* (df)
}
{ =} { d(f \circ i )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}
} {(u,v)} {(u^2,v^3-u)
} {,}
und die
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } dx \wedge dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und sei das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^n
}
{ = }{ V \times \cdots \times V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
versehen. Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {V^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ =} { (\varphi_1(t), \varphi_2(t) , \ldots , \varphi_n(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen
\mathbed {\varphi(t)} {}
{t \in I} {}
{} {} {} {,}
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
auf $V$ repräsentieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Es sei $\omega$ eine
$k$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{,} also eine Abbildung
\maabbdisp {\omega} {M} {\bigwedge^k T^*M
} {}
mit
\mathl{\omega(P) \in \bigwedge^k T^*_P M}{} für alle
\mathl{P \in M}{,} wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 83.5} {} {} versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$\omega$ ist
\definitionsverweis {
stetig}{}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {Karte}{}{}
\maabb {\alpha} {U} {V
} {}
mit
\mathl{V \subseteq \R^n}{} und mit der lokalen Darstellung
\mathl{\alpha_* \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_J dx_J}{} sind die Funktionen $f_J$ stetig.
}{Es gibt eine offene Überdeckung
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} mit
\definitionsverweis {Kartengebieten}{}{} $U_i$ derart, dass in den lokalen Darstellungen
\mathl{\alpha_{i*} \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_{i J} dx_J}{} die Funktionen $f_{i J}$ stetig sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
zwischen zwei
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}
Es seien
\mathkor {} {\omega \in
{ \mathcal E }^{ k } ( M )} {und} {\tau \in
{ \mathcal E }^{ \ell } ( M )} {}
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} auf $M$. Zeige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* ( \omega \wedge \tau)
}
{ =} {\varphi^* \omega \wedge \varphi^* \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3 \setminus \{(0,0,0)\}} {N = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid z \neq 0 \right\} }
} {(u,v,w)} {(uvw,u^2-vw^5,u^2+v^2+w^2)
} {,}
und die
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = z^2dx \wedge dy+{ \frac{ xy }{ z } }dx \wedge dz+(xe^y-z)dy \wedge dz} { }
auf $N$. Bestimme die
\definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 83.8.
Gehe dabei folgendermaßen vor. \aufzaehlungvier{Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
[[/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
}{Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
{{:Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster}}
ein. }{Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein. }{Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite(die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können) einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
[[Ihr Benutzername/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]hinschreiben.
}
}
{} {}
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