Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 83

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne die Tangentialabbildung ${}T\varphi$ zu

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-3xz^{3}+y^{2},x\sin y-e^{yz})$

unter Verwendung der Identifizierungen

${}T\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}$ und ${}T\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Es seien ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf $\{1,2\}$ abhängt).

Es seien ${}M$ und ${}N$ orientierte Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt ${}\varphi$ orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

$T\varphi \colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N$

bijektiv und orientierungstreu ist.

Aufgabe

Zeige, dass die antipodale Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,P\longmapsto -P,$

orientierungstreu ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$\varphi \colon M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$

bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Zeige, dass man auf ${}\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes ${}k$ eine Topologie erklären kann, bei der für jede Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ die Abbildung

$\bigwedge ^{k}T^{*}U\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}V\cong V\times \bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n*}$

eine Homöomorphie ist.

Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Zeige, dass ${}\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes ${}k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ die Menge der ${}k$- Formen auf ${}M$. Zeige, dass ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ ein ${}R$- Modul zu ${}R=C^{0}(M,\mathbb {R} )$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}P\in M$ ein Punkt und ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$ eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}v\in T_{P}M$ ein Tangentialvektor, der durch einen differenzierbaren Weg

$\gamma \colon {]{-\delta },\delta [}\longrightarrow M$

mit ${}\gamma (0)=P$ repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit

${}(df)(P,v)=(f\circ \gamma )'(0)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}i:M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}i^{*}(df)=d(f\circ i)\,$

gilt.

Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},v^{3}-u),$

und die ${}2$- Differentialform

${}\omega ={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}dx\wedge dy\,.$

Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$ und sei das Produkt ${}V^{n}=V\times \cdots \times V$ mit der Produkttopologie versehen. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow V^{n}$

eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass

${}\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\ldots ,\varphi _{n}(t))\,$

für jedes ${}t\in I$ eine Basis von ${}V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen ${}\varphi (t)$, ${}t\in I$, die gleiche Orientierung auf ${}V$ repräsentieren.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Es sei ${}\omega$ eine ${}k$- Differentialform, also eine Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M$

mit ${}\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$ für alle ${}P\in M$, wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie (siehe Aufgabe 83.5) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\omega$ ist stetig.
2. Für jede Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und mit der lokalen Darstellung ${}\alpha _{*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}$ sind die Funktionen ${}f_{J}$ stetig.
3. Es gibt eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten ${}U_{i}$ derart, dass in den lokalen Darstellungen ${}\alpha _{i*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{iJ}dx_{J}$ die Funktionen ${}f_{iJ}$ stetig sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$. Es seien ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}^{\ell }(M)$ Differentialformen auf ${}M$. Zeige die Gleichung

${}\varphi ^{*}(\omega \wedge \tau )=\varphi ^{*}\omega \wedge \varphi ^{*}\tau \,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\longrightarrow N={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z\neq 0\right\}},\,(u,v,w)\longmapsto (uvw,u^{2}-vw^{5},u^{2}+v^{2}+w^{2}),$

und die ${}2$- Differentialform

$\omega =z^{2}dx\wedge dy+{\frac {xy}{z}}dx\wedge dz+(xe^{y}-z)dy\wedge dz$

auf ${}N$. Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$.

Aufgabe (4 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 83.8.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

   [[/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.