Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Topologie/Charakterisierung der Stetigkeit von Differentialformen/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Es sei ${}\omega$ eine ${}k$-Differentialform, also eine Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M$

mit ${}\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$ für alle ${}P\in M$, wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie (siehe Aufgabe) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\omega$ ist stetig.
2. Für jede Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und mit der lokalen Darstellung ${}\alpha _{*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}$ sind die Funktionen ${}f_{J}$ stetig.
3. Es gibt eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten ${}U_{i}$ derart, dass in den lokalen Darstellungen ${}\alpha _{i*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{iJ}dx_{J}$ die Funktionen ${}f_{iJ}$ stetig sind.

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