Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/18/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 3 2 7 4 3 4 2 1 5 6 3 4 3 5 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Gaußklammer einer reellen Zahl .
  2. Eine streng fallende Funktion .
  3. Eine Reihe von reellen Zahlen .
  4. Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

    (rekursive Definition).

  5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .

  6. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Summenregel für reelle Folgen.
  2. Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
  3. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (3 Punkte)

Die Zahlen

werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

  1. Zeige, dass für positve reelle Zahlen die Abschätzung

    gilt.

  2. Zeige, dass es reelle Zahlen mit und mit

    gibt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

wachsend ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine reelle konvergente Folge mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktion der Form

wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

  1. Zeige die Gleichheit
  2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter den Lösungsraum der linearen Gleichungssystems


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper . Es seien und Vektoren in , die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung derart gibt, dass

für gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung