Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/31/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	1	3	3	3	3	4	6	6	3	3	4	4	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge ${}20$ cm und mit einem Durchmesser von ${}3$ cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe ${}2,5$ cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm.

Wer verwendet mehr Butter?
Wie viel Butter verwendet Lucy?
Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine ${}250$ Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei ${}A(n)$ die Aussage, dass je ${}n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je ${}n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt ${}n+1$ Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden ${}n$ Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese ${}n+1$ Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Drücke

{\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ die invertierbaren Elemente, also Polynome ${}P$ , für die es ein weiteres Polynom ${}Q$ mit ${}PQ=1$ gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Es gelte

{}\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,

für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Folgt daraus, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}f(x)=x^{3}-5x^{2}-x+2\,.

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

{}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,,

dann ist

{}\vert {f(x)-f(-2)}\vert \leq {\frac {1}{20}}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}$ und ${}g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}$ .

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ und von ${}g$ .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ .

c) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

{}F(x)=x^{4}-x^{3}\,.

Bestimme die Nullstellen der Funktion.
Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
Bestimme die Extrema der Funktion.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}2$ zur rationalen Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{2}+6x+1}{4x+4}},

im Entwicklungspunkt ${}1$ .

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion zu

{}f(x)=x^{2}\ln x\,

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}3x&-4y&+2z&+5w&=&12\\x&+5y&+7z&+w&=&1\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ der Körper mit zwei Elementen. Bestimme die Dimension des von den Vektoren

{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}

erzeugten Untervektorraumes des ${}K^{4}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

{\begin{pmatrix}1&5&0\\4&4&1\\0&0&5\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, dass die Determinante

\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,

für beliebiges ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ , für ${}u\in K^{n}$ und für ${}s\in K$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

gilt.