Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/33/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 3 | 6 | 1 | 4 | 4 | 3 | 5 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Teilmenge einer Menge .
- Die Gaußklammer einer reellen Zahl .
- Eine streng fallende Funktion .
- Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion
in einem Punkt .
- Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
- Die Determinante einer - Matrix .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
- Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .
- Der Determinantenmultiplikationssatz.
Aufgabe (3 Punkte)
Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne
Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.
Aufgabe * (2 Punkte)
Zeige
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das an der Stelle den Wert und an der Stelle den Wert besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Aufgabe * (6 Punkte)
Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad ,
mit . Zeige, dass es Zahlen mit
gibt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise die Kettenregel für differenzierbare Funktionen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynome zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
Aufgabe * (5 Punkte)
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung