Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/5/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 2 4 4 3 6 2 4 4 5 4 5 6 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Das Maximum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  4. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  5. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
  2. Der Satz über die Differenz zwischen Stammfunktionen.
  3. Der Satz über die Dimension des Standardraumes.


Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige durch Induktion über , dass es zu natürlichen Zahlen mit natürliche Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

im Entwicklungspunkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

a) Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum von ist.

b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe * (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem