Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/53/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	3	2	4	2	3	3	3	5	4	3	2	5	3	4	1	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
2. Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$.
3. Ein lokales Maximum einer Funktion

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$.

4. Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$-mal differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
6. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
2. Die Taylor-Abschätzung.
3. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Aufgabe * (4 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das nacheinander die Fibonacci-Zahlen (also ${}f_{1}=1,f_{2}=1,f_{3}=2,f_{4}=3,f_{5}=5,f_{6}=8,f_{7}=13,...$) ausdruckt.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.

• Er kann einen Speicherinhalt in einen Speicher schreiben.

• Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen Speicher schreiben.

• Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.

• Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

$(1,0,0,0,0,0,0,\ldots ).$

Das Programm soll unendlich lange laufen und nacheinander „Die“ ${}n$ „-te Fibonacci-Zahl ist “ ${}f_{n}$ ausdrucken.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

1. injektiv?
2. surjektiv?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge ${}1,085$ Zentimeter beträgt. Gold wiegt ${}19,3$ Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. ${}50.000$ Euro im Jahr ${}2020$. Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?

Aufgabe * (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position ${}(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}$ (die Koordinaten seien mit ${}x$ und ${}y$ bezeichnet) und schaut in die positive ${}x$-Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um ${}180$ Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um ${}360$ Grad und macht einen Schritt nach links.

Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

${}\vert {2x-3}\vert \geq \vert {5x-7}\vert \,$

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen ${}\vert {2x-3}\vert$ und ${}\vert {5x-7}\vert$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

${}\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.$

Bestimme ${}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {4}}+{\sqrt {6}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe explizit ein ${}m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

${}1,03^{n}\geq n^{2}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

${}f(x)=x^{3}+5x\,.$

1. Zeige, dass ${}f$ bijektiv ist.
2. Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ im Nullpunkt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine Stammfunktion zu ${}fg$ finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu ${}f$ und zu ${}g$ miteinander multipliziert.

„Es sei ${}F$ eine Stammfunktion zu ${}f$ und ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$, die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von ${}f$ und ${}g$ möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, sodass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist ${}\ln F$ eine Stammfunktion von ${}\ln f$ und ${}\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln g$. Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit ${}\ln F+\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln f+\ln g$. Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

${}\exp \left(\ln F+\ln G\right)=\exp \left(\ln F\right)\cdot \exp \left(\ln G\right)=F\cdot G\,$

eine Stammfunktion von

${}\exp \left(\ln f+\ln g\right)=\exp \left(\ln f\right)\cdot \exp \left(\ln g\right)=f\cdot g\,$

ist.“

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen ${}E,F,G$ im ${}\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

1. ${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$

2. ${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$

3. ${}G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$

Bestimme sämtliche Punkte ${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(8)\,\,\,(r+s)u=ru+su$

erfüllt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}3-\pi &2-3{\sqrt {5}}\\3-{\sqrt {5}}&4\pi \end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.

1. Die Achsenspiegelung durch die durch ${}4x-7y=5$ gegebene Achse.
2. Die Scherung, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}$ gegeben ist.
3. Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
4. Die Streckung mit dem Faktor ${}{\frac {1}{2}}$.