Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/65/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	2	3	1	0	3	3	0	0	4	0	0	4	3	0	0	0	33

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$	${}q$	${}?$
w	w	w
w	f	w
f	w	w
f	f	f

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}5$	${}2$	${}5$	${}4$	${}7$	${}4$

gegebene Abbildung

\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.

a) Bestimme das Bild von ${}\{5,6,7\}$ unter ${}\varphi$ .

b) Bestimme das Urbild von ${}\{1,2,3,4\}$ unter ${}\varphi$ .

c) Erstelle eine Wertetabelle für

{}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen

{}u^{2}<v^{2}<w^{2}\,

derart, dass der Abstand von ${}u^{2}$ zu ${}v^{2}$ gleich dem Abstand von ${}v^{2}$ zu ${}w^{2}$ ist.

Aufgabe * (3 (0.5+0.5+1+1) Punkte)

Professor Knopfloch fliegt von Tokio nach Frankfurt. Die Zeitdifferenz zwischen Frankfurt und Tokio beträgt 9 Stunden (wenn es in Frankfurt 12:00 ist, so ist es in Tokio bereits 21:00 am gleichen Tag). Das Flugzeug startet am Samstag um 11:30 Ortszeit in Tokio und landet am Samstag um 16:30 Ortszeit in Frankfurt und folgt dabei der eingezeichneten blauen Kurve. Die Erde ist in 24 Zeitzonen eingeteilt; in der Karte sind das (sehr schematisch) die Flächen, die durch die vom Nordpol ausgehenden Strahlen begrenzt werden. Wenn einer der Strahlen von West nach Ost (in der Karte bedeutet dies gegen den Uhrzeigersinn) überflogen wird, so springt die Ortszeit um eine Stunde vor. Wenn die Datumsgrenze (die rote Linie) von West nach Ost überflogen wird, so springt das Datum um einen Tag zurück (aber auch um eine Stunde vor, da die Datumsgrenze auch eine Zeitzonengrenze ist). Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug für jede Überfliegung einer Zeitzone gleich lang braucht (das ist ziemlich unrealistisch) und dass Tokio und Frankfurt in der Mitte ihrer Zeitzonen liegen.

a) Wie lange ist das Flugzeug unterwegs?

b) Wie viele Minuten braucht das Flugzeug, um eine Zeitzone zu überfliegen?

c) Welche Ortszeit gilt unmittelbar nachdem das Flugzeug die Datumsgrenze durchflogen hat?

d) Wie viele Minuten war das Flugzeug gemäß Ortszeit am Freitag unterwegs?

Aufgabe * (1 Punkt)

Um eine Bevölkerung gegen ein bestimmtes Virus zu schützen, braucht man eine Herdenimmunität von ${}70\%$ . Eine Impfung führt zu ${}95\%$ zur Immunität. Wie viel Prozent der Bevölkerung müssen geimpft werden, um die Herdenimmunität zu erreichen?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und es seien ${}x,y\in [a,b]$ . Zeige

{}\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N}$ . Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

Es ist
${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$
Es ist
${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$
Es ist
${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x

nach unten beschränkt ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ , die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

Bestimme das Bild der durch die Gleichung
${}3x-7y=0\,$

gegebenen Geraden.
Bestimme das Urbild der durch die Gleichung
${}4x-3y=0\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reell-symmetrische ${}2\times 2$ - Matrix. Zeige, dass ${}M$ einen Eigenwert besitzt.