Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {ax } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R } {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus einem nichtleeren \definitionsverweis {offenen Intervall}{}{} $]x- \delta, x + \delta[$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ < }{ b }
{ < }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} und es seien \maabbdisp {g} {[a,b]} {\R } {} und \maabbdisp {h} {[b,c]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g (b) }
{ = }{ h(b) }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{.} Zeige, dass dann die Funktion \maabbdisp {f} {[a,c]} {\R } {} mit
\mathdisp {f(t) = g (t) \text{ für } t \leq b \text{ und } f(t) = h(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nur im Nullpunkt stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Es sei \maabb {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) }
{ =} { b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,a) }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(f(x),b) }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Funktion \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n }
{ =} { 2a_n^4-6 a_n^3+a_n^2-5a_n+3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierten \definitionsverweis {Folge}{}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ =} { { \frac{ 3n^3-5n^2+7 }{ 4n^3+2n-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
in keinem Punkt $x \in \R$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ =} { \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 2x^3+3x^2-1 }{ x^3-x^2+x+3 } }} { }
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}



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