Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax,$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in T$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y\in T$ aus einem nichtleeren offenen Intervall ${}]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen und es seien

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon [b,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}g(b)=h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion

$f\colon [a,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(t)=g(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}f(t)=h(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

$x_{n}=5\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{3}-4\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{2}+2\left({\frac {2n+1}{n}}\right)-3$

für ${}n\rightarrow \infty$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die genau zwei Werte annimmt.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}x\in T$ mit ${}d(x,a)\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),b)\leq \epsilon$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte ${}x\in \mathbb {R}$ die durch

${}f(x)={\begin{cases}1{\text{ für }}x\leq -1\,,\\x^{2}{\text{ für }}-1<x<2\,,\\-2x+7{\text{ für }}x\geq 2\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

${}b_{n}=2a_{n}^{4}-6a_{n}^{3}+a_{n}^{2}-5a_{n}+3\,$

definierten Folge, wobei

${}a_{n}={\frac {3n^{3}-5n^{2}+7}{4n^{3}+2n-1}}\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

in keinem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {2x^{3}+3x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}+x+3}}$

im Punkt ${}a=-1$.

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