Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Heron_von_Alexandria.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Heron von Alexandria (1. Jahrhundert n.C.)} }
\bildlizenz { Heron von Alexandria.jpg } {} {Frank C. Müller} {Commons} {PD} {}
\zwischenueberschrift{Reelle Zahlenfolgen}
Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel.
\inputbeispiel{
}
{
Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl \anfuehrung{berechnen}{,} sagen wir von $5$. Eine solche Zahl $x$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein solches Element ist, so hat auch $-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber
nach Korollar 4.12
nicht geben, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.
Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler
\zusatzklammer {oder die Abweichung} {} {}
unter jede gewünschte positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig anzunähern, ist das \stichwort {Heron-Verfahren} {,} das man auch \stichwort {babylonisches Wurzelziehen} {} nennt. Dies ist ein \stichwort {iteratives Verfahren} {,} d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \defeq }{ x_0
}
{ \defeq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als erster Näherung. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_0^2
}
{ =} {2^2
}
{ =} { 4
}
{ <} { 5
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $x_0$ zu klein, d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ < }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2
}
{ < }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit $a$ positiv} {} {}
folgt zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 5/a^2
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (5/a)^2
}
{ > }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 5/a
}
{ > }{ \sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man hat also die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ <} {\sqrt{5}
}
{ <} {5/a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo $\sqrt{5}$ liegt. Die Differenz
\mathl{5/a -a}{} ist ein Maß für die Güte der Approximation.
Beim Startwert $2$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel $\sqrt{5}$ zwischen
\mathkor {} {2} {und} {5/2} {}
liegt. Man nimmt nun das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
der beiden Intervallgrenzen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \defeq} {\frac{2+ \frac{5}{2} }{2}
}
{ =} {\frac{9}{4}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{9}{4} \right) }^2
}
{ = }{\frac{81}{16}
}
{ > }{5
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist dieser Wert zu groß und daher liegt $\sqrt{5}$ im Intervall
\mathl{[5\cdot\frac{4}{9} , \frac{9}{4}]}{.} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ \defeq} {\frac{ 5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{9}{4} }{2}
}
{ =} {\frac{161}{72}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von $\sqrt{5}$.
}
Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren.
\inputbeispiel{}
{
Beim \stichwort {Heron-Verfahren} {} zur näherungsweisen Berechnung von $\sqrt{c}$ einer positiven Zahl $c$ geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert $x_0$ und berechnet davon das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
aus
\mathkor {} {x_0} {und} {{ \frac{ c }{ x_0 } }} {.}
Dieses Mittel nennt man $x_1$. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1^2-c
}
{ =} { { \left( \frac{x_0 + \frac{c}{x_0} }{2} \right) }^2-c
}
{ =} { \frac{x_0^2+2c+ \frac{c^2}{x_0^2} }{4} - c
}
{ =} { \frac{x_0^2-2c+ \frac{c^2}{x_0^2} }{4}
}
{ =} { { \left( \frac{x_0 - \frac{c}{x_0} }{2} \right) }^2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \geq} {0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
D.h. dass $x_1$ mindestens so groß wie $\sqrt{c}$ ist. Auf $x_1$ wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so $x_2$ usw. Die rekursive Definition von
\mathl{x_{n+1}}{} lautet also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n + { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Konstruktion weiß man, dass $\sqrt{c}$ in jedem Intervall
\mathl{[c/x_n, x_n]}{}
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
liegt, da aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n^2
}
{ \geq }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{c}{x_n} \right) }^2
}
{ = }{ { \frac{ c^2 }{ x_n^2 } }
}
{ \leq }{ { \frac{ c^2 }{ c } }
}
{ = }{ c
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Bei jedem Schritt gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ { \frac{ c }{ x_{n+1} } }, x_{n+1} ]
}
{ \subseteq} { [{ \frac{ c }{ x_{n} } }, x_{n} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert.
}
Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine reelle Zahl, die eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, so dass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionswort {reelle Folge}{} ist eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\N} {\R } {n} {x_n } {.}
}
Eine Folge wird zumeist als
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} oder einfach nur kurz als
\mathl{(x_n)_n}{} geschrieben. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen $\geq N$. Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. Grundsätzlich gibt es Folgen in jeder Menge, für die meisten Eigenschaften, für die man sich im Kontext von Folgen interessiert, braucht man aber eine zusätzliche \anfuehrung{topologische Struktur}{,} wie sie in $\R$ existiert. Dies gilt insbesondere für den folgenden Begriff.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {konvergiert}{,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist
Zu jedem positiven
\mathbed {\epsilon > 0} {}
{\epsilon \in \R} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. In diesem Fall heißt $x$ der \definitionswort {Grenzwert}{} oder der \definitionswort {Limes}{} der Folge. Dafür schreibt man auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \defeq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie \definitionswort {konvergiert}{}
\zusatzklammer {ohne Bezug auf einen Grenzwert} {.} {,}
andernfalls, dass sie \definitionswort {divergiert}{.}
}
Man sollte sich dabei das vorgegebene $\epsilon$ als eine kleine, aber positive Zahl vorstellen, die eine gewünschte \stichwort {Zielgenauigkeit} {}
\zusatzklammer {oder erlaubten Fehler} {} {}
ausdrückt. Die natürliche Zahl $n_0$ ist dann die \stichwort {Aufwandszahl} {,} die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab $n_0$ folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner der Fehler, also je besser die Approximation sein sollen, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand. Statt mit beliebigen positiven reellen Zahlen $\epsilon$ kann man auch mit den \stichwort {Stammbrüchen} {,} also den rationalen Zahlen
\mathbed {{ \frac{ 1 }{ k } }} {}
{k \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
arbeiten, siehe
Aufgabe 12.3.
Zu einem
\mathl{\epsilon >0}{} und einer reellen Zahl $x$ nennt man das Intervall
\mathl{]x- \epsilon, x + \epsilon[}{} auch die $\epsilon$-\stichwort {Umgebung} {} von $x$. Eine Folge, die gegen $0$ konvergiert, heißt \stichwort {Nullfolge} {.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Konvergenz.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Konvergenz.svg } {} {Matthias Vogelgesang} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cauchy_sequence_-_example.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cauchy sequence - example.png } {} {Pred} {da.wikipedia} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputbeispiel{}
{
Eine \stichwort {konstante Folge} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Aufwandszahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen kann. Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-c }
}
{ =} { \betrag { c-c }
}
{ =} { \betrag { 0 }
}
{ =} { 0
}
{ <} {\epsilon
}
}
{}{}{}
für alle $n$.
Die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges positives $\epsilon$ vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n_0 } }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insgesamt gilt damit für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ \leq} {{ \frac{ 1 }{ n_0 } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt maximal einen Grenzwert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte
\mathbed {x,y} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
gibt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \defeq }{ \betrag { x-y }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \defeq }{ d/3
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0} { }
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_0'$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-y } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0'} { . }
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{\max\{n_0,n_0'\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der
Dreiecksungleichung der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { \betrag { x-y }
}
{ \leq} { \betrag { x-x_n } + \betrag { x_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon+ \epsilon
}
{ =} { 2 d/3
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Beschränktheit}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge der reellen Zahlen.
\aufzaehlungneun{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine \definitionswort {obere Schranke}{} für $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine \definitionswort {untere Schranke}{} für $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{$M$ heißt \definitionswort {nach oben beschränkt}{,} wenn eine
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{}
für $M$ existiert.
}{$M$ heißt \definitionswort {nach unten beschränkt}{,} wenn eine
\definitionsverweis {untere Schranke}{}{}
für $M$ existiert.
}{$M$ heißt \definitionswort {beschränkt}{,} wenn $M$ sowohl nach
\definitionsverweis {oben}{}{}
als auch nach
\definitionsverweis {unten beschränkt}{}{}
ist.
}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt das \definitionswort {Maximum}{} von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \geq }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt das \definitionswort {Minimum}{} von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \leq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Eine
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{}
$T$ von $M$ heißt das \definitionswort {Supremum}{} von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \leq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
}{Eine
\definitionsverweis {untere Schranke}{}{}
$t$ von $M$ heißt das \definitionswort {Infimum}{} von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \geq }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
}
}
Obere und untere Schranken muss es nicht geben. Wenn $S$ eine obere Schranke ist, so ist auch jede größere Zahl eine obere Schranke. Für das offene Intervall
\mathl{]0,1[}{} ist $1$ das Supremum, aber nicht das Maximum, da $1$ nicht dazu gehört. Entsprechend ist $0$ das Infimum, aber nicht das Minimum. Beim abgeschlossenen Intervall
\mathl{[0,1]}{} sind die beiden Grenzen Maximum und Minimum.
All diese Begriffe werden auch für Folgen angewendet, und zwar für die Bildmenge
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.} Für die Folge
\mathbed {1/n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} ist $1$ das Maximum und das Supremum, $0$ ist das Infimum, aber nicht das Minimum.
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \max_{n <n_0}\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}
Es ist einfach, beschränkte, aber nicht konvergente Folgen anzugeben.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{c > 0}{} eine positive reelle Zahl. Dann ist die \stichwort {alternierende Folge} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { (-1)^n c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränkt, aber nicht
\definitionsverweis {konvergent}{}{.}
Die Beschränktheit folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { x_n }
}
{ =} { \betrag { (-1)^n } \betrag { c }
}
{ =} {c
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Grenzwert, so gilt für positives
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedes ungerade $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ =} { \betrag { -c-x }
}
{ =} {c+x
}
{ \geq} {c
}
{ >} {\epsilon
}
}
{}{}{,}
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
}
\zwischenueberschrift{Das Quetschkriterium}
{Reelle Zahlen/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq }{y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 12.5. }
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Quetschkriterium} {.}
{Reelle Zahlen/Folgen/Quetschkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N} { }
und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.}
\faktfolgerung {Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $a$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 12.6. }
\inputdefinition
{}
{
Die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt \definitionswort {wachsend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \geq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und \definitionswort {streng wachsend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ > }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt \definitionswort {fallend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \leq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und \definitionswort {streng fallend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ < }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Als gemeinsamen Begriff für \zusatzklammer {streng} {} {} waschsende oder \zusatzklammer {streng} {} {} fallende Folgen verwendet man die Bezeichnung \zusatzklammer {streng} {} {} \stichwort {monotone Folgen} {.}
Man stelle sich nun eine wachsende Folge vor, die aber dennoch beschränkt ist. Muss eine solche Folge konvergieren? Wird dadurch eine reelle Zahl definiert? In der Tat ist dies eine Version des Vollständigkeitsaxioms von $\R$, dem wir uns in der nächsten Vorlesung zuwenden.
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