Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex
\setcounter{section}{31}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2
}
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
die folgenden Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$.
}{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.}
}{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( u , w )
}
{ \leq} { d( u , v ) + d( v , w )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\8\\ 9 \end{pmatrix}}{}
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^3$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^3$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {3x+y+7z } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ ist, wenn die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^n} {V
} {e_i} {u_i
} {,}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {\R^n} {und} {V} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {bijektiven}{}{}
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
an, die keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist, für die aber für alle $u,v \in V$ die Beziehung
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = 0 \text{ genau dann, wenn } \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle =0} { }
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$. Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {:} Für zwei Vektoren $v,w \in V$, die
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
aufeinander stehen, gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 5 \\8\\ -3\\9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 0\\3 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende das
Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-4\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\3\\ 1 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$, versehen mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^4$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^4$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R } {(x,y,z,w)} {4x-3y+2z-5w } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{ $\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Für jeden Vektor $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
$u_i, i = 1 , \ldots , n$, ist auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis.
}{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, derart, dass auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$,
eine Orthonormalbasis ist.}
}
{} {}
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