Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 32

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die induzierte Metrik auf ${}T$ in der Tat eine Metrik ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge ${}M$ die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.

Aufgabe *

Es seien ${}P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und ${}Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}v\in V$ ein Vektor. Zeige, dass der Abstand ${}d(v,u)$ zu einem Vektor ${}u\in U$ genau in dem (eindeutig bestimmten) Punkt ${}u_{0}\in U$ minimal wird, für den ${}v-u_{0}$ orthogonal zu ${}U$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

1. Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.
2. Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}U_{i}$

   offen.
3. Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}U_{i}$

   offen.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge ${}T\subseteq M$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in ${}M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x$ und ${}y$ gibt es offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit

$x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von ${}M$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

$S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

in ${}\mathbb {R} ^{2}$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es seien ${}P$ und ${}Q$ zwei verschiedene Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und ${}G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass ${}G$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ weder offen noch abgeschlossen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert >1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ divergiert.

Aufgabe

Zeige, dass eine Folge in einem metrischen Raum maximal einen Grenzwert besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen einen Punkt ${}x\in M$ konvergiert, wenn die reelle Folge ${}d(x_{n},x)$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von ${}T$ abgeschlossen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}P=\left(3,{\frac {5}{2}},\,0\right)$ und ${}Q=\left(1,\,-6,\,{\frac {2}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in der

a) euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) und der Maximumsmetrik.

Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln ${}B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ (versehen mit der euklidischen Metrik) die Folge

$x_{n}=\left({\frac {n^{5}-4n^{2}}{e^{n}}},\,{\frac {-5n^{4}+n^{3}-n^{-1}}{13n^{4}-9n^{2}+5n+6}},\,{\frac {4\cos ^{3}n+6n^{2}+5n-2}{2n^{2}-\sin ^{7}n}}\right)$

konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den minimalen Abstand von ${}(4,1,-5)$ zu einem Punkt der Ebene ${}E$, die durch die Gleichung ${}2x-7y+3z=0$ gegeben ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Für welche Punkte ${}(t,t^{2})$ der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt ${}(0,1)$ minimal?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge ${}Z\subseteq T$ genau dann offen in ${}T$ ist, wenn es eine in ${}M$ offene Menge ${}U$ mit ${}Z=T\cap U$ gibt.