Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 33



Aufwärmaufgaben

Es seien und metrische Räume und . Zeige, dass die konstante Abbildung

stetig ist.



Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität

stetig ist.



Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.



Es sei ein metrischer Raum und seien reelle Zahlen. Es seien

und

stetige Abbildungen mit . Zeige, dass dann die Abbildung

mit

ebenfalls stetig ist.



Es sei ein metrischer Raum und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.



Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.



Zeige, dass die Addition

und die Multiplikation

stetig sind.



Zeige, dass die Funktion

stetig ist.



Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.



Zeige, dass auf dem die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.



Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

Zeige, dass eine Bijektion zwischen und dem Einheitskreis definiert, die stetig ist, deren Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.



Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei

die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.



Es sei

eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei

eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung eine polynomiale Funktion ist.



Es sei

eine Polynomfunktion und eine Basis von mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen . Zeige, dass auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.



Es sei . Zeige, dass die Determinante

eine polynomiale Funktion ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien , , und sei

der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Es sei eine Gerade in mit der Eigenschaft, dass es auf mindestens einen Punkt gibt mit . Zeige, dass ist.



Aufgabe (5 Punkte)

Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?



Aufgabe (8 Punkte)

Ein Billardtisch sei cm breit und cm lang, die Kugeln haben einen Radius von cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis[1] mit Radius cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?



Aufgabe (4 Punkte)

Es seien metrische Räume und seien

Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

stetig in ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

eine stetige Abbildung ist.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von abgeschlossen in ist.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (8 Punkte)

Fertige in der Situation der Aufgabe 33.18 eine hochladbare Grafik an, die auf dem Billardtisch die Linien von gleichem Schwierigkeitsgrad (also gleicher Winkeltoleranz zum Einlochen) zeigt.




Fußnoten
  1. Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis.



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