- Aufwärmaufgaben
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
-
in jedem Punkt .
Skizziere die
Bilder
und die
Graphen
der folgenden
Kurven
im .
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein reelles Intervall und ein
euklidischer Vektorraum.
Es seien
-
zwei in
differenzierbare Kurven
und es sei
-
eine in
differenzierbare Funktion.
Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
- Die Summe
-
ist in differenzierbar mit
-
- Das Produkt
-
ist differenzierbar in mit
-
Insbesondere ist für
auch differenzierbar in mit
-
- Wenn nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
-
in differenzierbar mit
-
Es sei ein
metrischer Raum, sei
eine Teilmenge und sei
ein
Berührpunkt von . Es sei
-
eine
Abbildung
in einen
euklidischen Vektorraum
mit den
Komponentenfunktionen
-
bezüglich einer Basis von . Zeige, dass der
Limes
-
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
-
existieren.
Es seien
-
differenzierbare Kurven.
Berechne die
Ableitung
der Funktion
-
Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.
Für welche Punkte ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve
-
zum Nullpunkt
maximal, für welche minimal?
Das
Bild
der durch
-
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt
genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
erfüllt.
Es seien
endlich viele Punkte und sei
.
Zeige, dass es zu je zwei Punkten
eine
differenzierbare Kurve
-
mit
und
gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
-
für jeden Punkt .
Betrachte die
Kurve
-
a) Bestimme die
Ableitung von in jedem Punkt .
b) Bestimme die Komponentenfunktionen von bezüglich der neuen Basis
-
von .
c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von
Lemma 34.10.
Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)
Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle Sekunden um einen großen Kreis mit Radius Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand Meter.
a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang
(in einem geeigneten Koordinatensystem)
als eine
differenzierbare Kurve.[1]
b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
c) Berechne die Geschwindigkeit
(den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
Bestimme in der Situation von
Aufgabe 34.12
die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.
Sei
-
Bestimme die Punkte , für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte zum Punkt minimal wird.
- Aufgabe zum Hochladen
- Fußnoten
- ↑ Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus.