Ein
metrischer Raum
ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte „näher“ zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung
f
:
L
⟶
M
{\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}
zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum
M
{\displaystyle {}M}
durch den Abstand im Definitionsraum
L
{\displaystyle {}L}
kontrollierbar ist. Sei
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
und
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle {}y=f(x)}
der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte
x
′
{\displaystyle {}x'}
, die „nahe“ an
x
{\displaystyle {}x}
sind, auch die Bildpunkte
f
(
x
′
)
{\displaystyle {}f(x')}
„nahe“ an
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
vorgegeben. Dieses
ϵ
{\displaystyle {}\epsilon }
repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“
(oder „Zieltoleranz“).
Die Frage ist dann, ob man ein
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
finden kann
(eine „Startgenauigkeit“ oder „Starttoleranz“)
mit der Eigenschaft, dass für alle
x
′
{\displaystyle {}x'}
mit
d
(
x
,
x
′
)
≤
δ
{\displaystyle {}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta }
die Beziehung
d
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
≤
ϵ
{\displaystyle {}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon }
gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.
Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen
Es seien
(
L
,
d
1
)
{\displaystyle {}(L,d_{1})}
und
(
M
,
d
2
)
{\displaystyle {}(M,d_{2})}
metrische Räume ,
f
:
L
⟶
M
{\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}
eine
Abbildung
und
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
.
Die Abbildung
f
{\displaystyle {}f}
heißt stetig in
x
{\displaystyle {}x}
, wenn für jedes
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
ein
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
derart existiert, dass
f
(
B
(
x
,
δ
)
)
⊆
B
(
f
(
x
)
,
ϵ
)
{\displaystyle {}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,}
gilt. Die Abbildung
f
{\displaystyle {}f}
heißt stetig , wenn sie stetig in
x
{\displaystyle {}x}
für jedes
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
ist.
Statt mit den offenen Ballumgebungen könnte man hier genauso gut mit den abgeschlossenen Ballumgebungen arbeiten. Die einfachsten Beispiele für stetige Abbildungen sind konstante Abbildungen, die Identität eines metrischen Raumes und die Inklusion
T
⊆
M
{\displaystyle {}T\subseteq M}
einer mit der induzierten Metrik versehenen Teilmenge eines metrischen Raumes. Siehe dazu die Aufgaben. Bei
L
=
M
=
R
{\displaystyle {}L=M=\mathbb {R} }
stimmt diese Definition mit der bisherigen überein.
Es sei
f
:
L
⟶
M
,
x
⟼
f
(
x
)
,
{\displaystyle f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),}
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
L
{\displaystyle {}L}
und
M
{\displaystyle {}M}
und sei
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
f
{\displaystyle {}f}
ist
stetig
im Punkt
x
{\displaystyle {}x}
.
Für jedes
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
gibt es ein
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
mit der Eigenschaft, dass aus
d
(
x
,
x
′
)
≤
δ
{\displaystyle {}d(x,x')\leq \delta }
folgt, dass
d
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
≤
ϵ
{\displaystyle {}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon \,}
ist.
Für jede
konvergente Folge
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
in
L
{\displaystyle {}L}
mit
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x}
ist auch die
Bildfolge
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
konvergent mit dem Grenzwert
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
.
Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
eine Folge in
L
{\displaystyle {}L}
, die gegen
x
{\displaystyle {}x}
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)}
ist. Dazu sei
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
gegeben. Wegen (2) gibt es ein
δ
{\displaystyle {}\delta }
mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
gegen
x
{\displaystyle {}x}
gibt es eine natürliche Zahl
n
0
{\displaystyle {}n_{0}}
derart, dass für alle
n
≥
n
0
{\displaystyle {}n\geq n_{0}}
die Abschätzung
d
(
x
n
,
x
)
≤
δ
{\displaystyle {}d(x_{n},x)\leq \delta \,}
gilt. Nach der Wahl von
δ
{\displaystyle {}\delta }
ist dann
d
(
f
(
x
n
)
,
f
(
x
)
)
≤
ϵ
für alle
n
≥
n
0
,
{\displaystyle d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},}
sodass die Bildfolge gegen
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
konvergiert.
Es sei (3) erfüllt und
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
vorgegeben. Wir nehmen an, dass es für alle
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
Elemente
z
∈
L
{\displaystyle {}z\in L}
gibt, deren Abstand zu
x
{\displaystyle {}x}
maximal gleich
δ
{\displaystyle {}\delta }
ist, deren Wert
f
(
z
)
{\displaystyle {}f(z)}
unter der Abbildung aber zu
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
einen Abstand größer als
ϵ
{\displaystyle {}\epsilon }
besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
δ
=
1
/
n
{\displaystyle {}\delta =1/n}
,
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
.
D.h. für jede natürliche Zahl
n
{\displaystyle {}n}
gibt es ein
x
n
∈
L
{\displaystyle {}x_{n}\in L}
mit
d
(
x
n
,
x
)
≤
1
n
und mit
d
(
f
(
x
n
)
,
f
(
x
)
)
>
ϵ
.
{\displaystyle d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .}
Diese so konstruierte Folge
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
konvergiert gegen
x
{\displaystyle {}x}
, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
, da der Abstand der Bildfolgenwerte zu
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
zumindest
ϵ
{\displaystyle {}\epsilon }
ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
f
:
L
⟶
M
,
x
⟼
f
(
x
)
,
{\displaystyle f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),}
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
L
{\displaystyle {}L}
und
M
{\displaystyle {}M}
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
f
{\displaystyle {}f}
ist
stetig
in jedem Punkt
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
.
Für jeden Punkt
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
und jedes
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
gibt es ein
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
mit der Eigenschaft, dass aus
d
(
x
,
x
′
)
≤
δ
{\displaystyle {}d(x,x')\leq \delta }
folgt, dass
d
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
≤
ϵ
{\displaystyle {}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon }
ist.
Für jeden Punkt
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
und jede
konvergente Folge
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
in
L
{\displaystyle {}L}
mit
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x}
ist auch die Bildfolge
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle {}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }}
konvergent mit dem Grenzwert
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
.
Für jede
offene Menge
V
⊆
M
{\displaystyle {}V\subseteq M}
ist auch das
Urbild
f
−
1
(
V
)
=
{
x
∈
L
∣
f
(
x
)
∈
V
}
{\displaystyle {}f^{-1}(V)={\left\{x\in L\mid f(x)\in V\right\}}}
offen.
Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus
Lemma 33.2 .
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge
V
⊆
M
{\displaystyle {}V\subseteq M}
gegeben mit dem Urbild
U
:=
f
−
1
(
V
)
{\displaystyle {}U:=f^{-1}(V)}
.
Sei
x
∈
U
{\displaystyle {}x\in U}
ein Punkt mit dem Bildpunkt
y
=
f
(
x
)
∈
V
{\displaystyle {}y=f(x)\in V}
.
Da
V
{\displaystyle {}V}
offen ist, gibt es nach Definition ein
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
mit
U
(
y
,
ϵ
)
⊆
V
{\displaystyle {}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V}
.
Nach (2) gibt es ein
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
mit
f
(
U
(
x
,
δ
)
)
⊆
U
(
y
,
ϵ
)
{\displaystyle {}f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}}
.
Daher ist
x
∈
U
(
x
,
δ
)
⊆
U
{\displaystyle {}x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,}
und wir haben eine offene Ballumgebung von
x
{\displaystyle {}x}
innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist
U
{\displaystyle {}U}
offen.
Es sei (4) erfüllt und
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
mit
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle {}y=f(x)}
und
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
vorgegeben. Da der offene Ball
U
(
y
,
ϵ
)
{\displaystyle {}U{\left(y,\epsilon \right)}}
offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild
f
−
1
(
U
(
y
,
ϵ
)
)
{\displaystyle {}f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})}
offen. Da
x
{\displaystyle {}x}
zu dieser Menge gehört, gibt es ein
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
mit
U
(
x
,
δ
)
⊆
f
−
1
(
U
(
y
,
ϵ
)
)
,
{\displaystyle {}U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,}
sodass (1) erfüllt ist.
◻
{\displaystyle \Box }
Es seien
L
,
M
,
N
{\displaystyle {}L,M,N}
metrische Räume
und seien
f
:
L
⟶
M
und
g
:
M
⟶
N
{\displaystyle f:L\longrightarrow M\,\,{\text{ und }}\,\,g:M\longrightarrow N}
stetige Abbildungen .
Dann ist auch die
Hintereinanderschaltung
g
∘
f
:
L
⟶
N
,
x
⟼
g
(
f
(
x
)
)
,
{\displaystyle g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),}
stetig.
Dies folgt am einfachsten aus der Charakterisierung von stetig mit offenen Mengen, siehe
Satz 33.3 .
◻
{\displaystyle \Box }
Verknüpfungen und stetige Abbildungen
Wir verwenden das Symbol
K
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }}
als gemeinsame Bezeichnung für
R
{\displaystyle {}\mathbb {R} }
und
C
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }}
.
Wegen
C
=
R
2
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}}
existiert auf
C
{\displaystyle {}{\mathbb {C} }}
eine Metrik, die durch den komplexen Betrag gegeben ist.
Die
Negation
K
⟶
K
,
x
⟼
−
x
,
{\displaystyle {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto -x,}
und die
Inversenbildung
K
∖
{
0
}
⟶
K
∖
{
0
}
,
x
⟼
x
−
1
,
{\displaystyle {\mathbb {K} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {K} }\setminus \{0\},\,x\longmapsto x^{-1},}
sind
stetig .
◻
{\displaystyle \Box }
Die
Addition
K
×
K
⟶
K
,
(
x
,
y
)
⟼
x
+
y
,
{\displaystyle {\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,}
und die
Multiplikation
K
×
K
⟶
K
,
(
x
,
y
)
⟼
x
⋅
y
,
{\displaystyle {\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,}
sind
stetig .
Beweis
Es sei
(
M
,
d
)
{\displaystyle {}(M,d)}
ein
metrischer Raum und seien
Funktionen
f
i
:
M
⟶
K
{\displaystyle f_{i}\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }}
(für
i
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle i=1,\ldots ,m}
)
gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung
f
:
M
⟶
K
m
,
x
⟼
(
f
1
(
x
)
,
…
,
f
m
(
x
)
)
.
{\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,x\longmapsto {\left(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x)\right)}.}
Dann ist
f
{\displaystyle {}f}
genau dann
stetig ,
wenn alle Komponentenfunktionen
f
i
{\displaystyle {}f_{i}}
stetig sind.
Es genügt, diese Aussage für
K
=
R
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} }
zu zeigen. Dafür folgt sie direkt aus
Lemma 32.13
unter Verwendung von
Lemma 33.2 .
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
M
{\displaystyle {}M}
ein
metrischer Raum
und seien
f
,
g
:
M
⟶
K
{\displaystyle f,g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }}
stetige Funktionen .
Dann sind auch die Funktionen
f
+
g
:
M
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
+
g
(
x
)
,
{\displaystyle f+g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),}
f
−
g
:
M
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
−
g
(
x
)
,
{\displaystyle f-g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),}
f
⋅
g
:
M
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
,
{\displaystyle f\cdot g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),}
stetig. Für eine Teilmenge
U
⊆
M
{\displaystyle {}U\subseteq M}
,
auf der
g
{\displaystyle {}g}
keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
f
/
g
:
U
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
/
g
(
x
)
,
{\displaystyle f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),}
stetig.
Wir betrachten Abbildungsdiagramme der Form
M
⟶
f
,
g
K
×
K
⟶
+
K
.
{\displaystyle M{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {+}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }.}
Die Abbildung links ist stetig aufgrund von
Lemma 33.7 .
Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von
Lemma 33.6 .
Daher ist wegen
Lemma 33.4 auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich
Lemma 33.5 heranziehen und
(für die Division) das Diagramm
U
⟶
f
,
g
−
1
K
×
K
⟶
⋅
K
{\displaystyle U{\stackrel {f,g^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }}
betrachten.
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
K
n
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }^{n}}
mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
φ
:
K
n
⟶
K
m
{\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}}
eine
lineare Abbildung .
Dann ist
φ
{\displaystyle {}\varphi }
stetig .
Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also
K
=
R
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} }
annehmen. Aufgrund von
Lemma 33.7
können wir
m
=
1
{\displaystyle {}m=1}
annehmen. Die Abbildung sei durch
φ
:
R
n
⟶
R
,
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⟼
∑
i
=
1
n
a
i
x
i
,
{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},}
mit
a
i
∈
R
{\displaystyle {}a_{i}\in \mathbb {R} }
gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei
a
=
max
(
|
a
i
|
,
i
=
1
,
…
,
n
)
>
0
{\displaystyle {}a={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}>0}
.
Es sei
x
∈
R
n
{\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ^{n}}
und ein
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
vorgegeben. Für alle
y
∈
R
n
{\displaystyle {}y\in \mathbb {R} ^{n}}
mit
d
(
x
,
y
)
≤
ϵ
n
a
{\displaystyle {}d{\left(x,y\right)}\leq {\frac {\epsilon }{na}}}
ist insbesondere
|
x
i
−
y
i
|
≤
ϵ
n
a
{\displaystyle {}\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{na}}}
für alle
i
{\displaystyle {}i}
und daher ist
d
(
φ
(
x
)
,
φ
(
y
)
)
=
|
∑
i
=
1
n
a
i
x
i
−
∑
i
=
1
n
a
i
y
i
|
=
|
∑
i
=
1
n
a
i
(
x
i
−
y
i
)
|
≤
∑
i
=
1
n
|
a
i
(
x
i
−
y
i
)
|
≤
n
a
|
x
i
−
y
i
|
≤
ϵ
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)}&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}}\vert \\&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq na\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \\&\leq \epsilon .\end{aligned}}}
◻
{\displaystyle \Box }
Polynome in mehreren Variablen
Wir haben schon Polynome in einer Variablen verwendet. Die folgende Definition verwendet eine Multiindex-Schreibweise, um Polynomfunktionen in beliebig
(endlich)
vielen Variablen einzuführen. Dabei steht ein Index
ν
{\displaystyle {}\nu }
für ein Tupel
ν
=
(
ν
1
,
…
,
ν
n
)
{\displaystyle {}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\,}
und für Variablen
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}}
verwendet man die Schreibweise
x
ν
=
x
1
ν
1
⋯
x
n
ν
n
.
{\displaystyle {}x^{\nu }=x_{1}^{\nu _{1}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,.}
Ein solcher Ausdruck heißt ein Monom in den Variablen
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}}
.
Eine
Funktion
f
:
K
n
⟶
K
,
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⟼
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
{\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}
die man als eine Summe der Form
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
ν
∈
N
n
a
ν
x
ν
=
∑
ν
∈
N
n
a
ν
x
1
ν
1
x
2
ν
2
⋯
x
n
ν
n
{\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,}
mit
a
ν
∈
K
{\displaystyle {}a_{\nu }\in {\mathbb {K} }}
schreiben kann, wobei nur endlich viele
a
ν
≠
0
{\displaystyle {}a_{\nu }\neq 0}
sind, heißt polynomiale Funktion .
Ein Polynom ist also eine endliche Summe aus mit Konstanten multiplizierten Monomen. In den zwei Variablen
x
{\displaystyle {}x}
und
y
{\displaystyle {}y}
ist z.B.
5
+
3
x
+
7
y
+
4
x
2
−
x
y
−
2
y
2
+
4
x
3
−
6
x
2
y
+
5
x
y
2
−
11
y
3
+
8
x
4
−
6
x
2
y
2
+
x
y
3
{\displaystyle 5+3x+7y+4x^{2}-xy-2y^{2}+4x^{3}-6x^{2}y+5xy^{2}-11y^{3}+8x^{4}-6x^{2}y^{2}+xy^{3}}
ein Polynom. Bei diesem Beispiel ist
a
0
,
0
=
5
,
a
1
,
0
=
3
,
a
2
,
1
=
−
6
,
a
3
,
1
=
0
{\displaystyle {}a_{0,0}=5,\,a_{1,0}=3,\,a_{2,1}=-6,\,a_{3,1}=0}
, u.s.w. Ein Beispiel in den drei Variablen
x
,
y
,
z
{\displaystyle {}x,y,z}
ist
2
+
6
x
−
4
y
−
3
z
+
5
x
2
+
y
2
−
2
z
2
−
x
y
−
4
x
z
+
3
y
z
+
7
x
3
+
4
y
3
−
5
z
3
−
x
2
y
+
5
x
y
2
−
11
x
z
2
+
4
x
2
y
+
8
y
2
z
+
3
y
z
2
+
5
x
y
z
+
17
x
3
y
6
z
5
.
{\displaystyle 2+6x-4y-3z+5x^{2}+y^{2}-2z^{2}-xy-4xz+3yz+7x^{3}+4y^{3}-5z^{3}-x^{2}y+5xy^{2}-11xz^{2}+4x^{2}y+8y^{2}z+3yz^{2}+5xyz+17x^{3}y^{6}z^{5}.}
Offenbar sind die Summe und die Produkte von polynomialen Funktionen wieder polynomial. Dies gilt auch, wenn man Polynome in andere Polynome einsetzt.
Fußnoten
↑ Eine
Abbildung
I
→
M
{\displaystyle {}I\rightarrow M}
,
wobei
I
{\displaystyle {}I}
ein
reelles Intervall
ist, deren
Bild
gleich einer „Kurve“
C
⊆
M
{\displaystyle {}C\subseteq M}
ist, nennt man eine Parametrisierung von
C
{\displaystyle {}C}
.