Stetigkeit/Metrischer Raum/Nach K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum und seien

$f,g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }$

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge

${}U\subseteq M$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen