Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex

\setcounter{section}{54}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{.} Bestimme das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Höhenlinien}{}{} und das \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} { 2(x-3)^2+3(y-1)^2 } {.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {BodyMassIndex.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { BodyMassIndex.png } {} {Thire} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+} {\R } {(m,l)} { { \frac{ m }{ l^2 } } } {,} berechnet, wobei $m$ für die Masse und $l$ für die Länge eines Menschen \zusatzklammer {oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes} {} {} steht \zusatzklammer {in den Einheiten Kilogramm und Meter} {} {.} \aufzaehlungsieben{Für welche Punkte ist diese Abbildung \definitionsverweis {regulär}{}{?} }{Skizziere das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.} }{Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem \definitionsverweis {Gradienten}{}{} dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab? }{Wie lassen sich die \definitionsverweis {Fasern}{}{} dieser Abbildung als \definitionsverweis {Graphen}{}{} von Funktionen beschreiben? }{Berechne die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} von $\varphi$ und bestimme ihren \definitionsverweis {Typ}{}{} in jedem Punkt. }{Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf
\mathl{[30,300] \times [1,2]}{} einschränkt, und welche Werte besitzt er dann? }{Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge $T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{} und \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {G} {\R^n} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {J} {\R^n } {} \zusatzklammer {$J \subseteq \R$ ein offenes Intervall} {} {} eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=G(v)$. Es gelte
\mathl{\varphi'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in J}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Nebra Scheibe.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?} }

\bildlizenz { Nebra Scheibe.jpg } {} {Dbachmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte zu
\mathl{r,s \in \R_+}{} mit
\mathl{r+s > 1}{} und
\mathl{s < r+1}{} die \anfuehrung{sichelförmige}{} Menge
\mathdisp {M_{r,s} = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq r , \, \sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s \right\} }} { . }
Für welche $r,s$ ist diese Menge \definitionsverweis {sternförmig}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { \left( 2x-y \cos x , \, - \sin x \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.

}
{} {}

Ob ein Vektorfeld auf
\mathl{U \subseteq \R^3}{} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

Zu einem \definitionsverweis {partiell differenzierbaren}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbdisp {G} {U} {\R^3 } {} auf einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq \R^3}{} nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }(P) }
{ \defeq} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_2 } }(P)- { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_3 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_3 } }(P)-{ \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_1 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_1 } }(P)-{ \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_2 } }(P) \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {Rotation}{} von $G$.

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {G} {U} {\R^3 } {} ein \definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x,y,z \neq 0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( x^3-z^2 , \, { \frac{ xy }{ z } } , \, { \frac{ z }{ x^2y } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Lösungen der Differentialgleichung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} der Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+y^2 } {,} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {linearen Vektorfelder}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^n} {\R^n } {v} {Mv } {,} sind \definitionsverweis {Gradientenfelder}{}{?} Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y e^z-3x^2z , \, xe^z+2yz , \, xye^z+y^2-x^3 \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x, y \neq 0 , \, z>0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( { \frac{ e^{3x}-z }{ y } } , \, { \frac{ \cos x }{ z^2 } } , \, { \frac{ \ln z }{ xy } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Fertige eine Illustration zu Beispiel 54.3 an.

}
{} {}