Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige durch Induktion nach $n$ unter Verwendung der partiellen Integration
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 x^m (1-x)^n dx }
{ =} { { \frac{ m! n! }{ (m+n+1)! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\tan x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^n \cdot \ln x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^{\sqrt{x} }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ x^3 }{ \sqrt[5]{ x^4+2} } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ \sin^{ 2 } x }{ \cos^{ 2 } x } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1+3 \sqrt[6]{x-2} }{ \sqrt[3]{(x-2)^2} - \sqrt{x-2} } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {( \ln ( 1+ \sin x ) ) \cdot \sin x} { . }

}
{} {}





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Funktion
\mathdisp {a \longmapsto \int_{ -1 }^{ 2 } at^2-a^2t \, d t} { }
ein \definitionsverweis {Maximum}{}{} oder ein \definitionsverweis {Minimum}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch \maabbeledisp {} {[8,18]} {\R } {x} {f(x) = -x^2+25x-100 } {,} beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und es seien
\mathl{b,c \in \R}{.} Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {(bt+c) \cdot f(t)} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+ } {x} {x^{1/n} } {,} unter Verwendung der Stammfunktion von $x^n$ und Satz 20.4.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {[c,d] } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral
\mathdisp {\int_c^d f^{-1}(y) dy} { }
die Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durchführt und anschließend partiell integriert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \sqrt{\pi} } x \sin x^2 \, d x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Begründe den Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_1^{ab} { \frac{ 1 }{ x } } dx }
{ =} { \int_1^{a} { \frac{ 1 }{ x } } dx + \int_1^{b} { \frac{ 1 }{ x } } dx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{a,b \in \R_+}{} allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = 2x^3 +3e^x - \sin x } {,} über
\mathl{[-1,0]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x} } {,} über
\mathl{[1,4]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wurst.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Wurst.png } {} {Benutzer: Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Clusterförmige Anordnung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Clusterförmige Anordnung.png } {} {Benutzer: Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}

Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^3 \cdot \cos x -x^2 \cdot \sin x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\arcsin x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sin ( \ln x)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^x \cdot { \frac{ x^2+1 }{ (x+1)^2 } }} { . }

}
{} {Tipp: Man schreibe das Zählerpolynom unter Verwendung des Nennerpolynoms.}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und $H$ eine Stammfunktion von $G$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {{ \left( at^2+bt+c \right) } \cdot f(t)} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Funktion.Flaechenvariation.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Funktion.Flaechenvariation.png } {M. Gausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{?} Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?

}
{} {}