Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Definitionsabfrage

Definition:Primzahl

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

Definition:Leere Menge

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

\emptyset

bezeichnet.

Definition:Teilmenge

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.

Definition:Durchschnitt

Zu Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

{}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

{}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,

die Vereinigung der beiden Mengen.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

aus.

Definition:Injektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Definition:Surjektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

{}F(x)=y\,

gibt.

Definition:Bijektiv

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Umkehrabbildung

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

G\colon M\longrightarrow L,

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$ .

Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

und

G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$ .

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.

Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

Axiome der Addition
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$ .
2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$ .
3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$ .
4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$ .
Axiome der Multiplikation
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$ .
3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$ .
4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$ .
Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ .

Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

{}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$ . Dann nennt man

{}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,

den Binomialkoeffizienten „ ${}n$ über ${}k$ “.

Definition:Angeordneter Körper

Ein Körper ${}K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von ${}K$ eine Beziehung ${}>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ( ${}a\geq b$ bedeutet ${}a>b$ oder ${}a=b$ ).

Für je zwei Elemente ${}a,b\in K$ gilt entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$ .
Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$ ).
Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$ ).
Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$ ).

Definition:Archimedisch angeordnet

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

{}n\geq x\,

gibt.

Definition:Intervalle

Für reelle Zahlen ${}a,b$ , ${}a\leq b$ , nennt man

${}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

${}]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

${}]a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

${}[a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Gaußklammer

Zu einer reellen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,

definiert.

Definition:Betrag einer reellen Zahl

Für eine reelle Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.

{}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x\,,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,

Definition:Wachsende Funktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ wachsend, wenn

f(x')\geq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.

Definition:Fallende Funktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ fallend, wenn

f(x')\leq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.

Definition:Streng wachsende Funktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ streng wachsend, wenn

f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.

Definition:Streng fallende Funktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ streng fallend, wenn

f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.

Definition:Komplexe Zahlen

Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$ , mit der komponentenweisen Addition und der durch

{}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

{\mathbb {C} }

bezeichnet.

Definition:Real- und Imaginärteil

Zu einer komplexen Zahl

{}z=a+b{\mathrm {i} }\,

heißt

{}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,

der Realteil von ${}z$ und

{}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,

heißt der Imaginärteil von ${}z$ .

Definition:Komplexe Konjugation

Die Abbildung

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },

heißt komplexe Konjugation.

Definition:Betrag einer komplexen Zahl

Zu einer komplexen Zahl

{}z=a+b{\mathrm {i} }\,

ist der Betrag durch

{}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,

definiert.

Definition:Polynom in einer Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

mit

{}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}

heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$ .

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

{}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$ .

Definition:Rationale Funktion

Zu Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$ , ${}Q\neq 0$ , heißt die Funktion

D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Definition:Reelle Folge

Eine reelle Folge ist eine Abbildung

\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.

Definition:Konvergenz einer reellen Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und es sei ${}x\in \mathbb {R}$ . Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem positiven ${}\epsilon >0$ , ${}\epsilon \in \mathbb {R}$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

{}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=x\,.

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Beschränkt

Eine Teilmenge ${}M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen ${}s\leq S$ mit ${}M\subseteq [s,S]$ gibt.

Definition:Wachsende Folge

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Definition:Fallende Folge

Die reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn ${}x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Definition:Cauchy-Folge

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

{}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,

gilt.

Definition:Teilfolge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$ , ${}i\longmapsto n_{i}$ , heißt die Folge

i\mapsto x_{n_{i}}

eine Teilfolge der Folge.

Definition:Intervallschachtelung

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,

in ${}\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

{\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },

gegen ${}0$ konvergiert.

Definition:Bestimmt divergent gegen ${}+\infty$

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ , wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N

gibt.

Definition:Bestimmt divergent gegen ${}-\infty$

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}-\infty$ , wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N

gibt.

Definition:Reihe

Es sei ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

{}s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.

Falls die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

Eine Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert

konvergiert.

Definition:Die geometrische Reihe

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}

die geometrische Reihe in

{}x

.

Definition:Stetige Funktion

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion und ${}x\in D$ . Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt ${}x\in D$ stetig ist.

Definition:Grenzwert einer Funktion

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$ , wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ , die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man

{}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.

Definition:Maximum

Es sei ${}M$ eine Menge und

f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.

Definition:Minimum

Es sei ${}M$ eine Menge und

f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Minimum annimmt, wenn

f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.

Definition:Lokales Maximum

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

{}f(x)\geq f(x')\,

gilt.

Definition:Lokales Minimum

Sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung

{}f(x)\leq f(x')\,

gilt.

Definition:Isoliertes lokales Maximum

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

{}f(x)>f(x')\,

gilt.

Definition:Isoliertes lokales Minimum

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion.

Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in D$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

{}f(x)<f(x')\,

gilt.

Definition:Potenzreihe

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}

die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ .

Definition:Cauchy-Produkt

Zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen heißt die Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Definition:Exponentialreihe

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

die Exponentialreihe in ${}x$ .

Definition:Exponentialfunktion

Die Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},

heißt (reelle) Exponentialfunktion.

Definition:Eulersche Zahl

Die reelle Zahl

{}e:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,

heißt eulersche Zahl.

Definition:Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus

\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

Definition:Exponentialfunktion zu einer Basis

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ als

{}b^{x}:=\exp(x\ln b)\,.

Definition:Logarithmus zu einer Basis

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ , ${}b\neq 1$ , wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ durch

{}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,

definiert.

Definition:Sinus hyperbolicus

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

{}\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Definition:Kosinus hyperbolicus

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

{}\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Definition:Tangens hyperbolicus

Die durch

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},

definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.

Definition:Gerade Funktion

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

{}f(x)=f(-x)\,

gilt.

Definition:Ungerade Funktion

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

{}f(-x)=-f(x)\,

gilt.

Definition:Kosinusreihe

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}

die Kosinusreihe zu ${}x$ .

Definition:Sinusreihe

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

die Sinusreihe zu ${}x$ .

Definition:Tangens

Die Funktion

\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},

heißt Tangens.

Definition:Kotangens

Die Funktion

\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},

heißt Kotangens.

Definition:Differenzenquotient

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zu ${}x\in D$ , ${}x\neq a$ , heißt die Zahl

{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$ .

Definition:Differenzierbarkeit

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$ , geschrieben

f'(a).

Definition:Ableitungsfunktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt ${}a\in I$ die Ableitung ${}f'(a)$ von ${}f$ in ${}a$ existiert. Die Abbildung

f'\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von ${}f$ .

Definition:Höhere Ableitungen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Die Funktion ${}f$ heißt ${}n$ -mal differenzierbar, wenn sie ${}(n-1)$ -mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$ -te Ableitung, also ${}f^{(n-1)}$ , differenzierbar ist. Die Ableitung

{}f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,

nennt man dann die ${}n$ -te Ableitung von ${}f$ .

Definition:Stetig differenzierbar

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ differenzierbar ist und die Ableitung ${}f'$ stetig ist.

Definition:Die Zahl ${}\pi$

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall ${}[0,2]$ . Die Kreiszahl ${}\pi$ ist durch

{}\pi :=2s\,

definiert.

Definition:Arkussinus

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,

und heißt Arkussinus.

Definition:Arkuskosinus

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,

und heißt Arkuskosinus.

Definition:Taylor-Polynom

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine ${}n$ -mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ . Dann heißt

{}T_{a,n}(f)(x):=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,

das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ .

Definition:Taylor-Reihe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine unendlich oft differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ . Dann heißt

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}

die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ .

Definition:Treppenfunktion

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$ . Dann heißt eine Funktion

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

{}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,

von ${}I$ derart gibt, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

Definition:Treppenintegral

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$ und sei

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Treppenfunktion zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ . Dann heißt

{}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})\,

das Treppenintegral von ${}t$ auf ${}I$ .

Definition:Obere Treppenfunktion

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine obere Treppenfunktion zu ${}f$ , wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist. Eine Treppenfunktion

s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

heißt eine untere Treppenfunktion zu ${}f$ , wenn ${}s(x)\leq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

Definition:Oberes Treppenintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$ , ${}i=0,\ldots ,n$ , und den Werten ${}t_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , heißt das Treppenintegral

{}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von ${}f$ auf ${}I$ .

Definition:Unteres Treppenintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$ , ${}i=0,\ldots ,n$ , und den Werten ${}s_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , heißt

{}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von ${}f$ auf ${}I$ .

Definition:Oberintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$ das Oberintegral von ${}f$ .

Definition:Unterintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ das Unterintegral von ${}f$ .

Definition:Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

Definition:Bestimmtes Integral

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von ${}f$ über ${}I$ . Es wird mit

\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^{}f(t)\,dt

bezeichnet.

Definition:Riemann-integrierbar

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.

Definition:Integralfunktion

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Riemann-integrierbare Funktion und ${}a\in I$ . Dann heißt die Funktion

I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,

die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$ .

Definition:Stammfunktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Eine Funktion

F\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

heißt Stammfunktion zu ${}f$ , wenn ${}F$ auf ${}I$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$ . Dann nennt man

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Definition:Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ und ${}J$ Indexmengen. Eine ${}I\times J$ -Matrix ist eine Abbildung

I\times J\longrightarrow K,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.

Bei ${}I=\{1,\ldots ,m\}$ und ${}J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer ${}m\times n$ -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$ - Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$ -Matrix über ${}K$ . Dann ist das Matrixprodukt

AB

diejenige ${}m\times p$ -Matrix, deren Einträge durch

{}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,

gegeben sind.

Definition:Standardvektor

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann nennt man zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ den Vektor

{}e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\in K^{n}\,,

wobei ${}1$ an der ${}i$ -ten Stelle steht, den ${}i$ -ten Standardvektor.

Definition:Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,

und

\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.

Dann nennt man ${}V$ einen ${}K$ -Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${}K$ ), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig)

${}u+v=v+u$ ,
${}(u+v)+w=u+(v+w)$ ,
${}v+0=v$ ,
Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$ ,
${}1\cdot u=u$ ,
${}r(su)=(rs)u$ ,
${}r(u+v)=ru+rv$ ,
${}(r+s)u=ru+su$ .

Definition:Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

${}0\in U$ .
Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$ .
Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$ .

Definition:Linearkombination

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$ . Dann heißt der Vektor

s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$ ).

Definition:Erzeugendensystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt eine Familie ${}v_{i}\in V$ , ${}i\in I$ , ein Erzeugendensystem von ${}V$ , wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als

{}v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,

mit einer endlichen Teilfamilie ${}J\subseteq I$ und mit ${}s_{j}\in K$ darstellen kann.

Definition:Aufgespannter Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Zu einer Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , setzt man

\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Definition:Linear unabhängig (endliche Familie)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ${}I$ ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Definition:Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$ , ${}i\in I$ , von ${}V$ eine Basis von ${}V$ .

Definition:Dimension

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$ , geschrieben

\dim _{K}{\left(V\right)}.

Definition:Lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$ .
${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$ .

Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt die ${}m\times n$ - Matrix

{}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$ -te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Definition:Durch Matrix festgelegte lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ . Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}

gemäß Satz 24.7 definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Definition:Kern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung. Dann nennt man

{}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,

den Kern von ${}\varphi$ .

Definition:Rang einer linearen Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

{}\operatorname {rang} \,\varphi :=\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,

den Rang von ${}\varphi$ .

Definition:Invertierbare Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

{}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,

gibt.

Definition:Inverse Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

{}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,

die inverse Matrix von ${}M$ . Man schreibt dafür

M^{-1}.

Definition:Ähnliche Matrix

Zwei quadratische Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.

Definition:Spaltenrang

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

\operatorname {rang} \,M.

Definition:Determinante (rekursive Definition)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$ -Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$ -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

{}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,

Definition:Transponierte Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die ${}n\times m$ -Matrix

{M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}

die transponierte Matrix zu ${}M$ .

Definition:Determinante eines Endomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man

{}\det \varphi :=\det M\,

die Determinante der linearen Abbildung ${}\varphi$ .

Definition:Eigenvektor

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ , ein Eigenvektor von ${}\varphi$ (zum Eigenwert ${}\lambda$ ), wenn

{}\varphi (v)=\lambda v\,

mit einem ${}\lambda \in K$ gilt.

Definition:Eigenwert

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$ , wenn es einen von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in V$ mit

{}\varphi (v)=\lambda v\,

gibt.

Definition:Eigenraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zu ${}\lambda \in K$ nennt man

{}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,

den Eigenraum von ${}\varphi$ zum Wert ${}\lambda$ .

Definition:Charakteristisches Polynom

Zu einer ${}n\times n$ - Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$ heißt das Polynom

{}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,

das charakteristische Polynom von ${}M$ .

Definition:Geometrische Vielfachheit

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zu ${}\lambda \in K$ nennt man

\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}

die geometrische Vielfachheit von ${}\lambda$ .

Definition:Algebraische Vielfachheit

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und ${}\lambda \in K$ . Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$ . Sie wird mit

{}\mu _{\lambda }=\mu _{\lambda }(\varphi )\,

bezeichnet.

Definition:Diagonalisierbare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.

Definition:Trigonalisierbare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.