Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/26

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Kurz vor Satz 26.6 über Multilinearität wird gesagt, dass

${}\operatorname {Mat} _{n}(K)\cong (K^{n})^{n}\,$

ist. Das erschließt sich mir überhaupt nicht.

Kannst du mir da weiterhelfen?

Antwort

Zunächst einmal ist ${}(K^{n})^{n}$ das ${}n$- fache Produkt von ${}K^{n}$ mit sich selbst, wobei ${}K^{n}$ ja selbst eine Produktmenge aus ${}n$ Faktoren ist, wobei die Faktoren alle ${}K$ sind. Klammerung spielt bei der Produktmenge keine Rolle. Also ist

${}(K^{n})^{n}=(K\times \ldots \times K)\times \ldots \times (K\times \ldots \times K)=K^{n\cdot n}\,.$

Die ${}n\cdot n$ Einträge einer ${}n\times n$-Matrix bilden als Koordinaten zusammen einen Vektor in ${}K^{n\cdot n}$.

Die Schreibweise ${}(K^{n})^{n}$ wurde gewählt, weil wir hier eine ${}n\times n$-Matrix als ${}n$ Zeilenvektoren auffassen wollen. Jede der Zeilen der Matrix ist ein Element in ${}K^{n}$ und die Matrix hat ${}n$ Zeilen.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 26

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