Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesung 26
- Rang von Matrizen
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde.
Dann gilt
Beweis
Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer -Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Untervektorraumes von ein.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über .
Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Wenn man im Sinne von Satz 21.9 mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von .
Es sei die Anzahl der relevanten Zeilen in der durch elementare Zeilenumformungen gewonnenen Matrix in Stufenform. Wir zeigen, dass diese Zahl sowohl mit dem Spaltenrang als auch mit dem Zeilenrang von und von übereinstimmt. Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Untervektorraum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang von stimmt also mit dem Zeilenrang von überein. Diese Matrix hat den Zeilenrang , da die ersten Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang , da die Spalten, in denen eine neue Stufe auftritt, linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser Spalten sind. Die Aufgabe 26.2 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.
Beide Ränge stimmen also überein, so dass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist invertierbar.
- Der Rang von ist .
- Die Zeilen von sind linear unabhängig.
- Die Spalten von sind linear unabhängig.
Die Äquivalenz von (2), (3) und (4) folgt aus der Definition und aus
Lemma 26.3.
Für die Äquivalenz von (1) und (2) betrachten wir die durch definierte
lineare Abbildung
Die Eigenschaft, dass der Spaltenrang gleich ist, ist äquivalent zur Surjektivität der Abbildung, die aufgrund von
Korollar 25.4 äquivalent zur Bijektivität der Abbildung ist. Die Bijektivität ist nach
Lemma 25.11
äquivalent zur
Invertierbarkeit
der Matrix.
- Determinanten
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.
Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.
- Multilinearität
Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine „multilineare“ „alternierende“ Abbildung ist, wenn man die Identifizierung
vornimmt, bei der einer Matrix das -Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel
auf, wobei die einzelnen Einträge Zeilenvektoren der Länge sind.
Es sei ein Körper und .
Dann ist die Determinante
D.h., dass für jedes , für je Vektoren und für die Gleichheit
und für die Gleichheit
gilt.
Es seien
wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also und . Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Für ist und
nach Induktionsvoraussetzung. Für ist und es ist . Insgesamt ergibt sich
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe *****.
Es sei ein Körper und . Dann besitzt die Determinante
folgende Eigenschaften.
- Wenn in zwei Zeilen übereinstimmen, so ist . D.h., dass die Determinante alternierend ist.
- Wenn man in zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor .
(1) und (2) werden parallel durch Induktion über bewiesen, wobei es für nichts zu zeigen gibt. Es sei also und . Die relevanten Zeilen seien und mit . Nach Definition ist . Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei für , da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
wobei ist. Die beiden Matrizen und haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile in als die -te Zeile und in als die -te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man in überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor , also ist . Setzt man dies oben ein, so erhält man
Jetzt beweisen wir (2). Nach Teil (1) (für ) und aufgrund der Multilinearität ist
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Es ist .
- Die Zeilen von sind linear unabhängig.
- ist invertierbar.
- Es ist .
Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 26.4 gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass ist. Dann ist nach Satz 26.9 und Satz 26.10
Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix sein.
Bei steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im Vektoren betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als
Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung
d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.
- Der Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen
Wir besprechen weitere wichtige Sätze über Determinanten, die wir aber nicht beweisen werden. Die Beweise beruhen auf einer systematischeren Untersuchung der für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein. Durch diese beiden Eigenschaften zusammen mit der Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich ist, ist die Determinante nämlich schon eindeutig festgelegt.
Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist
Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man „nach einer Zeile entwickelt“, wie die folgende Aussage zeigt.
Für ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für aufgrund von Satz 26.15. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe 26.12.
- Die Determinante einer linearen Abbildung
Es sei
eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen und und der Basiswechselmatrix aufgrund von Korollar 25.9 die Beziehung . Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher
so dass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man
die Determinante der linearen Abbildung .
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