Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/6

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

In einem Polynomring ${}K[X]$ kann man addieren und multiplizieren. Ist eine Subtraktion und Division ebenso möglich, oder behandeln wir diese nur nicht?

Antwort

Doch Subtraktion und Division sind möglich und doch, wir behandeln sie.

Die Subtraktion ist wie im Körper schon, die Addition mit dem Negativen, also ${}P-Q$ = ${}P+(-Q)$. Das Negative eines Polynoms ${}Q=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}$ ist das Polynom ${}-Q=-a_{0}-a_{1}X-a_{2}X^{2}-\ldots -a_{n}X^{n}$.

Bei der Division muss man aufpassen, da ähnlich wie bei der Division in den ganzen Zahlen Reste auftreten. Dies wird intensiv in Satz 6.3 behandelt.

Studentenfrage

Ist der Grad des Nullpolynoms 0? Oder hat das Nullpolynom keinen Grad? Manche sagen, er sei undefiniert.

Antwort

Im Skript steht dazu:

„Das Nullpolynom bekommt keinen Grad.“

Wenn wir einen bestimmten Grad für das Nullpolynom festlegen würden, dann könnten wir aus der Formel

${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,$

in dem wir ${}Q=0$ einsetzen herleiten, dass jedes Polynom Grad 0 hat. Deshalb ergibt es keinen Sinn einen Grad für das Nullpolynom zu bestimmen.

Studentenfrage

Gibt es unlineare Polynome über den komplexen Zahlen?

Antwort

Du meinst wahrscheinlich nichtlineare Polynome. Unter unlinear kann ich mir sonst nicht viel vorstellen.

Natürlich gibt es über den komplexen Zahlen, wie über jedem Körper nichtlineare Polynome. Wir nennen nur Polynome mit Grad 1 linear. Zum Beispiel ist ${}X^{2}$ über jedem Körper ein nichtlineares Polynom, da es Grad 2 hat.

Studentenfrage

Kann bei der Polynomdivision ein Rest nicht gleich Null bleiben?

Antwort

Ja. Für diesen Fall ist die Bedingung ${}\operatorname {Grad} \,(R)<\operatorname {Grad} \,(T)$ in Satz 6.3 da. Wir wissen dann nämlich zumindest, dass der Rest einen kleineren Grad als der Teiler hat.

Studentenfrage

In der Vorlesung wird erwähnt, dass die Division mit Rest wichtig für Nullstellen, Wachstumsverhalten, lokale Extrema und dergleichen ist. Wie kann ich mir das vorstellen, da dabei ja immer noch der Rest im Weg ist, um diese gut zu bestimmen?

Antwort

Wichtig hierfür ist Lemma Lemma 6.5. Wenn wir also die Polynomdivision mit Rest mit dem Divisor ${}X-a$ durchführen und wir erhalten einen von ${}0$ verschiedenen Rest, dann kann ${}a$ keine Nullstelle sein. Wenn der Rest aber ${}0$ ist, ist ${}a$ eine Nullstelle. Der Rest ist also nicht im Weg, sondern ganz zentral zur Bestimmung der Nullstellen.

Wir werden in Satz 15.3 das Auftreten von Extrema und damit auch das Wachstumsverhalten von Funktionen auf die Nullstellen der Ableitung zurückführen. Damit überträgt sich auch die Bedeutung der Polynomdivision mit Rest.

Wenn man eine Nullstelle finden möchte, probiert man natürlich im Allgemeinen nicht alle Möglichkeiten aus (und wenn man eine Nullstelle rät ist Einsetzen eine einfachere Probe), aber um bessere Verfahren zu finden um eine Nullstelle zu bestimmen ist das Wissen darum, dass Nullstellen von Polynomen mit Linearfaktoren zusammenhängen sehr wichtig.

Studentenfrage

Ich habe den letzten Abschnitt über die Rationalen Funktionen irgendwie nicht wirklich verstanden. Was wird durch den Bruch erreicht? Was ist der Unterschied zu vorher?

Antwort

Brüche, wie zum Beispiel die Funktion ${}{\frac {1}{X}}$ sind keine Polynome. Wenn wir Brüche zulassen, bekommen wir den Körper der rationalen Funktionen und haben insbesondere zu jedem Element ein Inverses. Wir können dann also zum Beispiel auch immer ohne Rest dividieren.

Zum Einen liefert das ein weiteres Beispiel für einen Körper, der anders ist, als wir ihn von den reellen Zahlen her kennen. Uns wird der Körper der rationalen Funktionen außerdem in Vorlesung 28 im Zusammenhang mit dem charakteristischen Polynom wieder begegnen.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 6

Die häufigste Fehlerquelle waren bei diesem Blatt Flüchtigkeitsfehler bei der Polynomdivision oder bei Aufgabe 26. Oft kamen die Leute mit Plus und Minus durcheinander und dann mussten wir Punkte abziehen. Vom Verständnis her hat allerdings alles weitestgehend gut geklappt.

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