Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/9/Beweis des Quotientenkriteriums/Studentenfrage/Antwort

Wir wollen durch das Quotientenkriterium andere Reihen durch die geometrische Reihe majorisieren. Dazu schätzen wir das Verhältnis (also den Quotienten) von je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern durch ${}q$ ab. Weil Satz 9.13 die Konvergenz der geometrische Reihe nur für ${}{|}q{|}<1$ zeigt müssen wir das auch für das ${}q$ durch das wir die Quotienten abschätzen annehmen. Da wir den Betrag nehmen, können wir sogar ${}q\in [0,1[$ voraussetzen.

Nachdem wir die einzelnen Quotienten abgeschätzt haben, können wir sie multiplizieren und erhalten

${}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.$

Das ist also eine Abschätzung der Glieder ${}a_{k}$ durch die Glieder einer geometrischen Reihe. Das ist genau das was wir für das Majorantenkriterium brauchen. Weil die geometrische Reihe konvergiert, konvergiert auch die Reihe für die wir das durch das Quotientenkriterium zeigen wollen.

Zur beantworteten Studentenfrage