Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/9

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Kann eventuell noch einmal auf das Cauchykriterium (sowie auf die Cauchy Folgen) eingegangen werden? Vielleicht mir einer genaueren Erklärung und/oder einem Beispiel? Ich merke, dass bei verschiedensten Sätzen darauf eingegangen wird und ich leider nie wirklich begreife, wie das jetzt genau zu verstehen ist.

Antwort

Das Cauchykriterium ist einfach eine äquivalente Charakterisierung der Konvergenz von Reihen. Das Cauchykriterium ist, dass für jede Genauigkeit ${}\epsilon >0$ es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt ab dem relativ beliebige Summen aus den folgenden Elementen durch ${}\epsilon$ beschränkt bleiben.

Das Cauchykriterium hat mit Cauchyfolgen direkt nichts zu tun trotz des Namens und des Ähnlichen Aussehens. Cauchyfolgen sind Folgen bei denen zu einer beliebigen Genauigkeit ${}\epsilon >0$ es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt ab dem die Differenz zwischen zwei beliebigen Elementen durch ${}\epsilon$ beschränkt ist.

Das Cauchykriterium macht die Konvergenz einer Reihe manchmal handhabbarer als der direkte Umgang mit Partialsummen, deshalb wird das gerne in Beweisen verwendet. Der Grenzwert der Reihe lässt sich mit dem Cauchykriterium aber nicht finden.

Ein Beispiel dafür wie das Cauchykriterium in Beweisen angewendet wird liefert der Beweis zu Satz 9.9. Da es nicht um den konkreten Grenzwert geht ist das Cauchykriterium hier das Mittel der Wahl.

Im Beweis von Satz 9.13 verwenden wir das Cauchykriterium hingegen nicht, da wir hier den genauen Grenzwert berechnen wollen.

Studentenfrage

Sind das Cauchy-Kriterium und die Definition des Grenzwertes einer Folge nicht eigentlich das gleiche? Wenn nicht, wo liegt genau der Unterschied?

Antwort

Es ist richtig, dass das sehr ähnlich ist. Das wird auch für Lemma 9.5 ausgenutzt, welches besagt dass die Konvergenz der Reihe voraussetzt, dass die Glieder eine Nullfolge bilden.

Der Unterschied liegt darin, dass für das Cauchykriterium beliebig viele Folgenglieder ab einem ${}n_{0}$ aufsummiert werden dürfen und die Summe trotzdem noch kleiner als ${}\epsilon$ ist. Für ${}n=n_{0}$ und ${}m\longrightarrow \infty$ ist das äquivalent dazu, dass die Reihe ab ${}n_{0}$ gegen einen Wert kleiner als ${}\epsilon$ konvergiert. Man sieht also, dass das Cauchykriterium deutlich stärker als nur die Folgenkonvergenz ist. Die Summe für beliebige ${}m>n\geq n_{0}$ ist nicht zu vernachlässigen!

Studentenfrage

I don't know how to prove Lemma 9.5. Do we assume ${}b_{k}$ is a Nullfolge?

Antwort

First of all I am sorry for the confusion. The proof of the Lemma used to reference Lemma 9.3 when in fact it refers to Lemma 9.4.

Now the trick is just to set ${}n=m$ in the Cauchy-criterion to get the definition of convergence to ${}0$. This way we see that convergence of the sequence ${}a_{k}$ is directly implied.

Studentenfrage

Warum wird das Majorantenkriterium Majorantenkriterium genannt? Hat das einen sinnhaften Ursprung oder ist das einfach durch einen Nachnamen entstanden?

Antwort

Ich vermute, dass es auf das Lateinische 'major' oder 'maior' für 'größer als' zurückgeht, möglicherweise über den Umweg über das Französische 'major'. In der Hinsicht ist es sicherlich sinnhaft.

Studentenfrage

Ich verstehe den Beweis des Quotientenkriteriums nicht richtig, bzw. die Rolle, die das Majorantenkriterium darin spielt. Das Verständnis, dass ${}q$ eine reelle Zahl zwischen ${}0$ und ${}1$ sein muss, fehlt mir auch.

Antwort

Wir wollen durch das Quotientenkriterium andere Reihen durch die geometrische Reihe majorisieren. Dazu schätzen wir das Verhältnis (also den Quotienten) von je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern durch ${}q$ ab. Weil Satz 9.13 die Konvergenz der geometrische Reihe nur für ${}{|}q{|}<1$ zeigt müssen wir das auch für das ${}q$ durch das wir die Quotienten abschätzen annehmen. Da wir den Betrag nehmen, können wir sogar ${}q\in [0,1[$ voraussetzen.

Nachdem wir die einzelnen Quotienten abgeschätzt haben, können wir sie multiplizieren und erhalten

${}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.$

Das ist also eine Abschätzung der Glieder ${}a_{k}$ durch die Glieder einer geometrischen Reihe. Das ist genau das was wir für das Majorantenkriterium brauchen. Weil die geometrische Reihe konvergiert, konvergiert auch die Reihe für die wir das durch das Quotientenkriterium zeigen wollen.

Studentenfrage

Wie entscheidet man welches Kriterium man am besten anwendet, um auf Konvergenz zu prüfen? Und ist es sinnvoll manchmal mehrere Kriterien anzuwenden?

Wenn ich eine beliebige Reihe auf Konvergenz untersuchen möchte, nehme ich wahrscheinlich das Kriterium, welches meiner Reihe am ähnlichsten sieht, oder? Würde ich theoretisch auch mit anderen Kriterien zum selben Ergebnis kommen, nur umständlicher?

Antwort

Die Konvergenzkriterien sind Werkzeuge um Konvergenz einer Reihe zu zeigen. Wenn man sie direkt anwenden kann, ist, sobald man mit den Kriterien vertraut ist, eigentlich meist recht klar, welches Kriterium das Richtige ist. Der Ansatz wie ähnlich die zu untersuchende Reihe aussieht ist schon mal eine gute erste Idee. Wenn es so aussieht als ob der Quotient der Reihenglieder im Betrag durch einen festen Wert kleiner 1 beschränkbar ist, dann ist das Quotientenkriterium sinnvoll. Wenn uns eine eine andere konvergente Reihe einfällt, deren Glieder immer betragsmäßig größer sind, dann ist das Majorantenkriterium anwendbar. Wenn die Glieder eine alternierende Nullfolge bilden, dann ist das Leibnizkriterium anwendbar.

Ein Problem dabei ist natürlich, dass wir manchmal bevor wir ein Kriterium anwenden können noch andere Transformationen durchführen müssen. Mathematische Beweisführung erfordert manchmal wie beim Schachspielen eben ein Gespür dafür wie die Situation aussieht nachdem wir einen Zug gemacht haben um über mehrere Schritte einen Plan verfolgen zu können. Um das zu trainieren hilft nur Übung.

Manchmal muss man auch einfach mehrere Kriterien ausprobieren um das richtige zu finden und manchmal funktionieren auch mehrere. Und wenn keines funktioniert muss man eben doch selbst über mehrere Schritte zur Definition finden - oder vielleicht stattdessen sich überlegen ob die Reihe eben doch nicht konvergiert.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 9

In Aufgabe 9.27 passen in das ${}2000m^{3}$ fassende Becken natürlich niemals mehr als ${}2000m^{3}$ hinein. Die zusätzlichen ${}200m^{3}$ müssen also anderes Wasser verdrängen.

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