Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 10/latex

\setcounter{section}{10}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {ax } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, \maabb {f} {D} {\R } {} eine Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$f$ ist \definitionsverweis {stetig}{}{} in $a$. }{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-a } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ m } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(a) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt. }{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-a } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^r } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(a) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^s } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R } {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Melons_-_Fethiye_Market.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Melons_-_Fethiye_Market.jpg } {} {Palosirkka} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}




\inputaufgabe
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Melons_-_Fethiye_Market.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Melons_-_Fethiye_Market.jpg } {} {Palosirkka} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte $100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen $99$ und $101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { 2x^3-4x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {2x^3-4x^2+x-6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein explizites
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,a) }
{ \leq} {\delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f(x),f(a) ) }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus einem nichtleeren \definitionsverweis {offenen Intervall}{}{} $]x- \delta, x + \delta[$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a) }
{ >} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ >} {g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist durch ihre Werte auf $\Q$ eindeutig festgelegt. }{Der Funktionswert
\mathl{f(a)}{} ist durch die Funktionswerte
\mathbed {f(x)} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,} festgelegt. }{Wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ < }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \leq} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, so gilt auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \leq} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ < }{ b }
{ < }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} und es seien \maabbdisp {g} {[a,b]} {\R } {} und \maabbdisp {h} {[b,c]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g (b) }
{ = }{ h(b) }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{.} Zeige, dass dann die Funktion \maabbdisp {f} {[a,c]} {\R } {} mit
\mathdisp {f(t) = g (t) \text{ für } t \leq b \text{ und } f(t) = h(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} {\R} {\R } {} von $f$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche Teilmenge und \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $f$ auf jedem Intervall der Form $[0, \delta]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

}
{} {} Ist eine solche Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?} Siehe auch Aufgabe 16.24.




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nur im Nullpunkt stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei rekursiv durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { \sqrt{ x_n+1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise direkt die Rechenregeln aus Lemma 10.6 \zusatzklammer {ohne Bezug auf das Folgenkriterium} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 2x^7-3 x \betrag { 6x^3-11 } }{ \betrag { 3x-5 } + \betrag { 4x^3-5x+1 } } } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabb {f} {\R_{\geq 0}} { \R_{\geq 0} } {} und eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {reelle Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_k }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty f(a_k)}{} nicht konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und seien \maabb {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen. Dabei seien \mathkor {} {g} {und} {h} {} \definitionsverweis {stetig}{}{} im Punkt $a$, es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a) }
{ = }{f(a) }
{ = }{h(a) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ \leq }{f(x) }
{ \leq }{h(x) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass auch $f$ in $a$ stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ x-1 }{ x^2-1 } }} { }
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Es sei \maabb {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) }
{ =} { b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,a) }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(f(x),b) }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }

}
{} {Tipp: Dies wird ähnlich wie das Folgenkriterium für die Stetigkeit bewiesen.}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der Stammbrüche und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{T \cup \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Folge \definitionsverweis {konvergiert}{}{} gegen $b$. }{Die Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \right) } }
{ =} { x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, f(x) }
{ = }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Die Funktion \maabbdisp {\tilde{f}} {D} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{ f} { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \right) } }
{ =} { x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tilde{f}(0) }
{ = }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist stetig. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^3+5x^2-3x+2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 100 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein explizites
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,a) }
{ \leq} {\delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f(x),f(a) ) }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Funktion \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
in keinem Punkt $x \in \R$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n }
{ =} { 2a_n^4-6 a_n^3+a_n^2-5a_n+3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierten \definitionsverweis {Folge}{}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ =} { { \frac{ 3n^3-5n^2+7 }{ 4n^3+2n-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 2x^3+3x^2-1 }{ x^3-x^2+x+3 } }} { }
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}