Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesung 24/latex
\setcounter{section}{24}
\epigraph { Durch starkes Denken kann man ein Kamel zu Fall bringen. } { Ibn Sina }
\zwischenueberschrift{Basiswechsel}
Wir wissen nach Satz 23.15, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten \zusatzklammer {oder Koeffizienten} {} {.} Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ij}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wir zur
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { { \left( c_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zusammenfassen.}
\faktfolgerung {Dann hat ein Vektor $u$, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten $\begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}$ besitzt, bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} t _{1 } \\ \vdots\\ t _{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11 } & c_{1 2} & \ldots & c_{1 n } \\
c_{21 } & c_{2 2} & \ldots & c_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{ n 1 } & c_{ n 2 } & \ldots & c_{ n n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j v_j
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j { \left( \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } s_j c_{ij} \right) } w_i
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Definition der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{.}
Die Matrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{,} die den Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ w }$ beschreibt, nennt man auch die \stichwort {Transformationsmatrix} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Übergangsmatrix} {}} {} {.}
In der $j$-ten Spalte der Transformationsmatrix stehen also die Koordinaten von $v_j$ bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$. Wenn man zu einer Basis $\mathfrak{ v }$ und einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige Koordinatentupel mit $\Psi_{ \mathfrak{ v } } (u)$ bezeichnet, so kann man den Übergang kurz als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_{ \mathfrak{ w } } (u)
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \Psi_{ \mathfrak{ v } } (u))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Basisvektoren von $\mathfrak{ v }$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } v_2= \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}} { . }
Daher erhält man sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich $\mathfrak{ v }$ die
\definitionsverweis {Koordinaten}{}{}
\mathl{(4,-3)}{} besitzt, bezüglich der Standardbasis $\mathfrak{ u }$ die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 10 \\-1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }}{} ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
von
\mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {}
ausdrücken. Eine direkte Rechnung
\zusatzklammer {dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen} {} {}
ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} - { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 2 }{ 7 } } & { \frac{ 1 }{ 7 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$.
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt \definitionswort {lineare Abbildung}{,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( s v)
}
{ = }{ s \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}
Die erste Eigenschaft nennt man dabei die \stichwort {Additivität} {} und die zweite Eigenschaft die \stichwort {Verträglichkeit mit Skalierung} {.} Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von \stichwortpraemath {K} {Linearität}{.} Die Identität
\maabb {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V
} {,}
die Nullabbildung
\maabb {} {V} {0
} {}
und die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_iv_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi(v_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe *****.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {Standardraum}{}{.} Dann ist die $i$-te \stichwort {Projektion} {,} also die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {K^n} {K } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_{i-1} , \, x_i , \, x_{i+1} , \, \ldots , \, x_n \right) } {x_i } {,} eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te \stichwort {Koordinatenfunktion} {.}
}
{Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U,V,W}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi : U \longrightarrow V \text{ und } \psi : V \longrightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {}
eine lineare Abbildung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 24.17. }
{Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V
} {}
\definitionsverweis {linear}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 24.18. }
\zwischenueberschrift{Festlegung auf einer Basis}
Hinter der folgenden Aussage (dem \stichwort {Festlegungssatz} {}) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra \zusatzklammer {von endlichdimensionalen Vektorräumen} {} {} die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine endliche
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es seien
\mathbed {w_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} Elemente in $W$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {W
} {} mit
\mathdisp {f(v_i)= w_i \text { für alle } i \in I} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v_i)
}
{ = }{w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein soll und eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i \in I} s_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} s_i f { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, und jeder Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir definieren nun umgekehrt eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {W
} {,}
indem wir jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der gegebenen Basis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {\sum_{i \in I} s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v)
}
{ \defeq} { \sum_{i \in I} s_i w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dabei klar.}
{}
\teilbeweis {Zur Linearität.\leerzeichen{}}{}{}
{Für zwei Vektoren
\mathkor {} {u= \sum_{i \in I} s_iv_i} {und} {v= \sum_{i \in I} t_iv_i} {}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f { \left( u+v \right) }
}
{ =} { f { \left( { \left( \sum_{i \in I} s_iv_i \right) } + { \left( \sum_{i \in I} t_iv_i \right) } \right) }
}
{ =} { f { \left( \sum_{i \in I} { \left( s_i + t_i \right) } v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} (s_i + t_i) f { \left( v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} s_i f { \left( v_i \right) } + \sum_{i \in I} t_i f(v_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { f { \left( \sum_{i \in I} s_iv_i \right) } + f { \left( \sum_{i \in I} t_iv_i \right) }
}
{ =} { f(u) +f(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe
Aufgabe 24.15.}
{}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Variables_proporcionals.png} }
\end{center}
\bildtext {Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von $\R$ nach $\R$, die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor $k$ festgelegt.} }
\bildlizenz { Variables_proporcionals.png } {} {Coronellian} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Die einfachsten
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
sind
\zusatzklammer {neben der Nullabbildung} {} {}
diejenigen von $K$ nach $K$. Eine solche lineare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K} {K
} {x} {\varphi(x)
} {,}
ist aufgrund von
Satz 24.7
bzw. direkt aufgrund der Definition durch
\mathl{\varphi(1)}{} bzw. durch den Wert
\mathl{\varphi(t)}{} für ein einziges
\mathbed {t \in K} {}
{t \neq 0} {}
{} {} {} {,}
festgelegt. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ ax
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem eindeutig bestimmten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von \stichwort {Proportionalität} {,} und $a$ heißt der \stichwort {Proportionalitätsfaktor} {.} In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als \anfuehrung{Dreisatz}{} auf.
}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen und Matrizen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Some_linear_maps_kpv_without_eigenspaces.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des $\R^2$ in sich, dargestellt an einer Gehirnzelle.} }
\bildlizenz { Some linear maps kpv without eigenspaces.svg } {} {Dividuum} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
ist nach
Satz 24.7
durch die Bilder
\mathbed {\varphi(e_j)} {}
{j = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes
\mathl{\varphi(e_j)}{} ist eine Linearkombination
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(e_j)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_{ij} e_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit durch die Elemente
\mathl{a_{ij}}{} eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch $mn$ Elemente
\mathbed {a_{ij}} {}
{1 \leq i \leq m} {}
{1 \leq j \leq n} {} {} {,}
aus dem Körper festgelegt. Einen solchen Datensatz kann man wieder als eine Matrix schreiben. Nach
dem Festlegungssatz
gilt dies, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(v_j )}{} bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ ist, die \definitionswort {beschreibende Matrix zu}{} $\varphi$ bezüglich der Basen.
Zu einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die durch
\mathdisp {v_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i} { }
gemäß
Satz 24.7
definierte lineare Abbildung
\mathl{\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)}{} die \definitionswort {durch}{} $M$ \definitionswort {festgelegte lineare Abbildung}{.}
}
Bei einer linearen Abbildung \maabb {\varphi} {K^n} {K^m } {} wird, wenn nichts anderes gesagt wird, auf die Standardbasen Bezug genommen. Bei einer linearen Abbildung \maabb {\varphi} {V} {V } {} eines Vektorraumes in sich selbst, was man einen \stichwort {Endomorphismus} {} nennt, nimmt man häufig vorne und hinten die gleiche Basis. Die Identität auf einem Vektorraum der Dimension $n$ wird bezüglich einer beliebigen Basis durch die Einheitsmatrix beschrieben.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die in
Definition 24.9
festgelegten Abbildungen
\mathdisp {\varphi \longmapsto M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi) \text{ und } M \longmapsto \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)} { }
\definitionsverweis {invers}{}{}
zueinander.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. \teilbeweis {}{}{}
{Wir starten mit einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachten die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M) )} { . }
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
\mathl{(i,j)}{} die Einträge übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{(M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M) ))_{ij}
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } ( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M)) (v_j)
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i
}
{ =} {a_{ij}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir
\mathdisp {\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(\varphi) )} { . }
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Satz 24.7
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(\varphi) ))(v_j)
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } (M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi))_{ij} \, w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist nach Definition der Koeffizient
\mathl{(M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi))_{ij}}{} die $i$-te Koordinate von
\mathl{\varphi(v_j)}{} bezüglich der Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_m}{.} Damit ist diese Summe gleich
\mathl{\varphi(v_j)}{.}}
{}
\inputbeispiel{}
{
Eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
wird zumeist durch die Matrix $M$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasen}{}{}
links und rechts beschrieben. Das Ergebnis der Matrixmultiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y_{1 } \\ \vdots\\ y_{ m } \end{pmatrix}
}
{ =} {M \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dann direkt als Punkt in $K^m$ interpretierbar. Die $j$-te Spalte von $M$ ist das Bild des $j$-ten Standardvektors $e_j$.
}
\zwischenueberschrift{Drehungen}
Eine Drehung der reellen Ebene $\R^2$ um den Nullpunkt um den Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn bildet
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}}{} auf
\mathl{\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}}{} auf
\mathl{\begin{pmatrix} - \sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix}}{} ab. Daher werden ebene Drehungen folgendermaßen beschrieben.
\inputdefinition
{
}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {D(\alpha)} {\R^2} {\R^2
} {,}
die durch eine
\definitionswort {Drehmatrix}{}
\mathl{\begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha
\end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {mit einem
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \alpha
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {} bezüglich der Standardbasis gegeben ist, heißt
\definitionswort {Drehung}{.}
}
Eine \stichwort {Raumdrehung} {} ist eine lineare Abbildung des $\R^3$ in sich, bei der um eine Drehachse
\zusatzklammer {durch den Nullpunkt} {} {}
um einen bestimmten Winkel gedreht wird. Wenn der Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Drehachse definiert und $u_2$ und $u_3$ auf $v_1$ und aufeinander senkrecht stehen und alle die Länge $1$ haben, so wird die Drehung bezüglich der Basis
\mathl{v_1,u_2,u_3}{} durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
0 &\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha \end{pmatrix}} { }
beschrieben.
\zwischenueberschrift{Der Kern einer linearen Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} { \varphi^{-1}(0)
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$.
}
Der Kern ist ein Untervektorraum von $V$.
Wichtig ist das folgende \stichwort {Injektivitätskriterium} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}