Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 60/latex
\setcounter{section}{60}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Annulus.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Annulus.svg } {} {Nandhp} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Flächeninhalt eines \definitionsverweis {Annulus}{}{} gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den Kreissektor $T$ aus dem Einheitskreis zum Winkel $30$ Grad, der an der $x$-Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von $T$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {,} \definitionsverweis {flächentreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x + \sin y ,y + \cos x)
} {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf dem Quadrat
\mathl{Q=[0,2 \pi] \times [0,2 \pi ]}{.} Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
\mathl{\lambda^2( \varphi(Q))}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^3 } {,} in reellen Koordinaten und bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} und die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} davon. Ebenso für $z^4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Isometrie}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} gleich \mathkor {} {1} {oder gleich} {-1} {} ist.
}
{} {Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {volumentreu}{}{,} aber keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
im
\mathl{\R^n}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {volumentreuer}{}{}
$C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.}
Es sei $G$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
Zeige, dass entweder
\mathl{(J(\varphi))(x) =1}{} für alle
\mathl{x \in G}{} oder aber
\mathl{(J(\varphi))(x) =-1}{} für alle
\mathl{x \in G}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {\R^n} { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Verschiebung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda^n (S)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ \varphi(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $S$ unter $\varphi$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
von $S$ unter $\varphi$ in den Schwerpunkt von $T$ abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {\R^n} { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda^n (S)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ \varphi(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $S$ unter $\varphi$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
von $S$ unter $\varphi$ in den Schwerpunkt von $T$ abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit
Aufgabe 59.10,
Aufgabe 60.11
und
Aufgabe 60.12,
dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
eines Dreiecks im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{A,B,C}{} gleich
\mathl{{ \frac{ A+B+C }{ 3 } }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{[-1,3] \times [0,2]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {(x,y)} {(x^3,y-x^2)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \mid x^2 > y^3 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {G} { \R^2
} {(x,y)} { (xy,x^2-y^3)
} {.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}{Zeige, dass $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
auf sein
\definitionsverweis {Bild}{}{}
induziert.
}{Zeige, dass das Rechteck
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ [3,4] \times [1,2]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $G$ liegt.
}{Berechne den Flächeninhalt des Bildes von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ [3,4] \times [1,2]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter $\varphi$.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass unter den
\definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{} der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} einer kompakten Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{}
\betonung{nicht}{} in den Schwerpunkt des Bildes $\varphi(T)$ überführt werden muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x^3-y^2,xy^2)
} {.}
Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf den beiden Quadraten
\mathkor {} {Q_1= [0,1] \times[0,1]} {und} {Q_2= [1,2] \times[1,2]} {.}
Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für
\mathkor {} {\lambda^2( \varphi(Q_1))} {und für} {\lambda^2( \varphi(Q_2))} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (3+2+2)}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,10]} {\R } {x} {x^2 } {,} und interessieren uns für die Straße der Breite $1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.
a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge $1$ \zusatzklammer {mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen} {} {} untereinander überschneidungsfrei sind.
b) Man gebe eine \zusatzklammer {möglichst einfache} {} {} Parametrisierung der Straße an.
c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
und die
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
zur Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C} \cong \R^2} {{\mathbb C} \cong \R^2
} {z} {z^n
} {,}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Hilfe von
\definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{.}
}
{} {}