Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 60

Übungsaufgaben

Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Aufgabe *

Wir betrachten den Kreissektor ${}T$ aus dem Einheitskreis zum Winkel ${}30$ Grad, der an der ${}x$-Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von ${}T$.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$

flächentreu ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf dem Quadrat ${}Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q))$?

Aufgabe

Beschreibe die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante davon. Ebenso für ${}z^{4}$.

Aufgabe *

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

derart, dass ${}\varphi$ volumentreu, aber keine Isometrie ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein volumentreuer ${}C^{1}$-Diffeomorphismus. Es sei ${}G$ zusammenhängend. Zeige, dass entweder ${}(J(\varphi ))(x)=1$ für alle ${}x\in G$ oder aber ${}(J(\varphi ))(x)=-1$ für alle ${}x\in G$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine Verschiebung und sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge mit ${}\lambda ^{n}(S)\neq 0$ und sei ${}T=\varphi (S)$ das Bild von ${}S$ unter ${}\varphi$. Zeige, dass der Schwerpunkt von ${}S$ unter ${}\varphi$ in den Schwerpunkt von ${}T$ abgebildet wird.

Aufgabe *

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine bijektive lineare Abbildung und sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge mit ${}\lambda ^{n}(S)\neq 0$ und sei ${}T=\varphi (S)$ das Bild von ${}S$ unter ${}\varphi$. Zeige, dass der Schwerpunkt von ${}S$ unter ${}\varphi$ in den Schwerpunkt von ${}T$ abgebildet wird.

Aufgabe

Zeige mit Aufgabe 59.10, Aufgabe 60.11 und Aufgabe 60.12, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}A,B,C$ gleich ${}{\frac {A+B+C}{3}}$ ist.

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$

Aufgabe *

Es sei

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}>y^{3}\right\}}\,,$

wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (xy,x^{2}-y^{3}).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
3. Zeige, dass das Rechteck ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ in ${}G$ liegt.
4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ unter ${}\varphi$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den Polarkoordinaten der Schwerpunkt einer kompakten Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ nicht in den Schwerpunkt des Bildes ${}\varphi (T)$ überführt werden muss.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf den beiden Quadraten ${}Q_{1}=[0,1]\times [0,1]$ und ${}Q_{2}=[1,2]\times [1,2]$. Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))$ und für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))$?

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

und interessieren uns für die Straße der Breite ${}1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${}1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante zur Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2},\,z\longmapsto z^{n},$

in einem beliebigen Punkt ${}P=(a,b)$ mit der Hilfe von Polarkoordinaten.