Polarkoordinaten/Differenzierbarkeitseigenschaften/Beispiel

Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$

heißt Polarkoordinatenauswertung. Sie ordnet einem Radius ${}r$ und einem Winkel ${}\alpha$ (wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein) denjenigen Punkt der Ebene (in kartesischen Koordinaten) zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels (gemessen von der ${}x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn) die Strecke ${}r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt ${}(r,\alpha )$ stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-r\sin \alpha \\\sin \alpha &r\cos \alpha \end{pmatrix}}.$

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel ${}\alpha$, periodisch mit der Periode ${}2\pi$ ist. Bei ${}r=0$ ist - unabhängig von ${}\alpha$ - das Bild gleich ${}(0,0)$. Ferner ist ${}\varphi (-r,\alpha +\pi )=\varphi (r,\alpha )$. Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.

Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

${}r(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )=r\,.$

Bei ${}r\neq 0$ liegt also nach Fakt ein bijektives totales Differential vor. Nach dem Satz über die lokale Umkehrabbildung gibt es zu jedem Punkt ${}(r,\alpha )$ mit ${}r\neq 0$ eine offene Umgebung ${}(r,\alpha )\in U_{1}$ und eine bijektive Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}=\varphi (U_{1}).$

Bei ${}r>0$ kann man beispielsweise als offene Umgebung das offene Rechteck

${}U_{1}={]r-\delta ,r+\delta [}\times {]\alpha -\epsilon ,\alpha +\epsilon [}\,$

mit ${}r>\delta >0$ und mit ${}\pi >\epsilon >0$ wählen. Das Bild davon, also ${}U_{2}$, ist der Schnitt des (offenen) Kreisringes zu den Radien ${}r-\delta$ und ${}r+\delta$ und dem (offenen) Kreissektor, der durch die beiden Winkel ${}\alpha -\epsilon$ und ${}\alpha +\epsilon$ begrenzt ist.

Man kann diese Abbildung zu einer bijektiven Abbildung, und zwar zu einem Diffeomorphismus, auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu

$\mathbb {R} _{+}\times {]-\pi ,\pi [}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,0)\mid x\leq 0\right\}},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ).$

Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen, siehe insbesondere Fakt. Wenn man das offene Intervall ${}]{-\pi },\pi [$ durch das halboffene Intervall ${}]{-\pi },\pi ]$ ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}\times {]{-\pi },\pi ]}$ und ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$. Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal stetig.