Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 59

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Integral

$\int _{Q}xy\,d\lambda ^{2}$

über dem Quader ${}Q=[a,b]\times [c,d]$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen ${}1$ und ${}3$. Berechne das Integral

$\int _{G}x^{2}+xy-y^{3}\,d\lambda ^{2}.$

Aufgabe *

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus ${}[c,d]$ (${}c>0$) dividiert?

Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=rst+t\sin s\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe

Verallgemeinere Korollar 59.6 auf den Fall eines Quaders ${}Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$.

Aufgabe *

Es sei

${}Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\,$

ein Quader im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei

${}f=x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\,$

ein Monom. Berechne ${}\int _{Q}fd\lambda ^{n}$.

Aufgabe

Berechne das Integral ${}\int _{T}fd\lambda ^{3}$, wobei ${}f(x,y,z)=xz$ und ${}T$ der Einheitszylinder ${}{\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,-1\leq x,y\leq 1,\,0\leq z\leq 1\right\}}$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Intervalls ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ mit dem arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken ${}(0,0),\,(0,1),\,(1,0)$.

Aufgabe

Berechne mittels Integration den Schwerpunkt eines Dreiecks, das durch die drei Punkte ${}(0,0),\,(a,0)$ und ${}(b,c)$ (mit ${}a,c>0$) gegeben sei.

Aufgabe

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Dreieckes mit den Eckpunkten ${}A,B,C$ gleich ${}{\frac {A+B+C}{3}}$ ist.

Für einen einfacheren Ansatz zur Lösung der vorstehenden Aufgabe siehe Aufgabe 60.13.

Aufgabe *

Es seien ${}S,T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakte Teilmengen mit positivem Volumen derart, dass ihr Durchschnitt ${}S\cap T$ das Volumen ${}0$ besitze. Es sei ${}P$ der Schwerpunkt von ${}S$ und ${}Q$ der Schwerpunkt von ${}T$. Zeige, dass der Schwerpunkt der Vereinigung ${}S\cup T$ durch

${\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}P+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}Q$

gegeben ist.

Zu einer endlichen Teilmenge ${}\{P_{1},\ldots ,P_{k}\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert man den Schwerpunkt durch ${}{\frac {\sum _{j=1}^{k}P_{j}}{k}}$. Dies ist kein Spezialfall von Definition 59.11, da dort vorausgesetzt wird, dass das Volumen der Teilmenge nicht ${}0$ ist. Aufgabe 59.12 zeigt, dass für ein Dreieck der Schwerpunkt der drei Eckpunkte mit dem Schwerpunkt des flächigen Dreiecks übereinstimmt. Eine weitere Beziehung zwischen den beiden Konzepten wird durch die folgende Aufgabe gestiftet.

Aufgabe

Es seien ${}\{P_{1},\ldots ,P_{k}\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ endlich viele Punkte. Es sei ${}\epsilon >0$ derart, dass die abgeschlossenen Bälle ${}B\left(P_{j},\epsilon \right)$ paarweise zueinander disjunkt seien. Es sei

${}T=\bigcup _{j=1}^{k}B\left(P_{j},\epsilon \right)\,.$

Zeige, dass der Schwerpunkt von ${}T$ gleich ${}{\frac {\sum _{j=1}^{k}P_{j}}{k}}$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des oberen Einheitshalbkreises

${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,y\geq 0\right\}}.$

Aufgabe *

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf ${}[-1,1]$ durch die Standardparabel und die durch ${}y=1$ gegebene Gerade begrenzt wird.

Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$ durch die beiden positiven Koordinatenachsen und den Graphen der Kosinusfunktion begrenzt wird.

Aufgabe

Bestimme durch Integration die ${}x$- und die ${}y-$Koordinate des Schwerpunktes der oberen Einheitshalbkugel (siehe Beispiel 59.12).

Aufgabe *

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge ${}1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt ${}30$ Grad beträgt.

1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe *

Dr. Eisenbeis und Prof. Knopfloch haben einen runden Kuchen mit einem Durchmesser von ${}40$ cm gebacken und ihn in ${}12$ gleich große Kuchenstücke aufgeteilt. Am übernächsten Tag ist leider nur noch ein Stück übrig, das sie gerecht aufteilen möchten. Da Dr. Eisenbeis den Rand nicht mag, halbieren sie nicht den Winkel, sondern sie teilen so, dass die eine Hälfte ein gleichschenkliges Dreieck wird.

1. Wie lang ist die Schnittkante?
2. Liegt der Schwerpunkt des Kuchenstücks auf der Schnittkante? Falls nein, wer isst den Schwerpunkt?

Tipp: Bei einen gleichschenkligen Dreieck mit dem Winkel ${}30$ Grad ist das Verhältnis von Grundfläche zu Schenkellänge (siehe Aufgabe 59.19) gleich ${}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$. Vergleiche mit dem Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, das entsteht, wenn man das Kuchenstück zu einem gleichschenkligen Dreieck auffüllen würde, also den runden Rand durch eine im Randmittelpunkt tangentiale gerade Strecke ersetzt. Bei einem Dreieck mit den Ecken ${}A,B,C$ liegt der Schwerpunkt in ${}{\frac {A+B+C}{3}}$.

Zur exakten Berechnung des Schwerpunktes in der vorstehenden Situation siehe Aufgabe 60.3.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Schwerpunkt des Intervalls ${}[a,b]$ zur Massenverteilung ${}f$ mit der ${}x$-Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des Subgraphen zu ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe

Auf der quadratischen Platte ${}P=[-1,1]\times [-1,1]$ sei eine elektrische Ladung gemäß ${}f(x,y)=y-x^{2}$ verteilt. Bestimme den Schwerpunkt der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Berechne die Integrale

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$,

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion ${}f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))$ über dem Rechteck ${}Q=[0,3\pi ]\times [0,1]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\frac {2uv}{(u^{2}+1)(v^{2}+v+1)}}.$

Für welche Quadrate ${}Q=[a,a+1]\times [b,b+1]$ der Kantenlänge ${}1$ wird das Integral

$\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}$

maximal? Welchen Wert besitzt es?

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral ${}\int _{B(P,r)}x^{2}-y^{3}d\lambda ^{2}$ über der Kreisscheibe ${}B(P,r)$ in Abhängigkeit von ${}P=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ und ${}r\in \mathbb {R} _{+}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Massenverteilung auf ${}T$ mit der Gesamtmasse ${}M>0$. Zeige, dass

${}t_{i}={\frac {1}{M}}\int _{T}y_{i}\cdot fd\lambda ^{n}\,$

die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes von ${}T$ bezüglich dieser Basis ist.