Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt der Vereinigung der beiden Rechtecke ${}R$ und ${}S$, wobei ${}R$ durch die Eckpunkte ${}(0,0),\,(3,0),\,(0,2)\,(3,2)$ und ${}S$ durch die Eckpunkte ${}(2,1),\,(5,1),\,(2,4)\,(5,4)$ gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt eines regulären Sechseckes mit der Seitenlänge ${}1$.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}n\geq 1$, eine kompakte Teilmenge, die eine nichtleere offene Teilmenge umfasse. Zeige ${}\lambda ^{n}(T)>0$.

Aufgabe *

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe

Es seien drei Punkte ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {Q} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

Aufgabe

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide (eines Tetraeders) mit Seitenlänge ${}1$.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen ${}0$ und ${}\pi$ um die ${}x$-Achse gedreht wird.

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die ${}y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu ${}y=h$ „gedeckelt“ wird, in Abhängigkeit von ${}h\geq 0$.

Aufgabe

Fasse die Einheitskugel als Rotationskörper auf und berechne damit ihr Volumen.

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe ${}1$ besitzt, den (offenen) Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

Aufgabe *

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Aufgabe *

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,$

um die ${}t$-Achse rotieren lässt.

Aufgabe *

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe *

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ die Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt in ${}(0,R)$ und dem Radius ${}0<r<R$. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich ${}K$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ der Viertelkreis mit dem Mittelpunkt in ${}(1,0)$, dem Radius ${}1$ und den Eckpunkten ${}(0,0)$ und ${}(1,1)$. Berechne das Volumen des „runden Trichters“, der entsteht, wenn man ${}V$ um die ${}y$-Achse dreht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D$ das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(3,4),\,(5,5)$ und ${}(4,6)$. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man ${}D$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen des Kegels, dessen Spitze in ${}(2,3,5)$ liegt und dessen Grundfläche die durch

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}\leq 4\right\}}$

gegebene Ellipse ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}T$ ein Kreissektor des Einheitskreises zum Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß). Begründe mit Überpflasterungseigenschaften und mit Satz 58.8, dass der Flächeninhalt von ${}T$ gleich ${}{\frac {\alpha }{2}}$ ist.