Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 58

Volumenberechnungen

Ein ${}n$-dimensionaler (achsenparalleler) Quader

${}Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

hat nach Definition das ${}n$-dimensionale Volumen

${}\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n})\,.$

Bei ${}n=1$ handelt es sich um die Streckenlänge, bei ${}n=2$ um den Flächeninhalt eines Rechtecks, bei ${}n=3$ um das Volumen eines Quaders. Im Rahmen der Maßtheorie versucht man „möglichst vielen“ Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein sinnvolles Volumen (ein Maß), geschrieben

$\lambda ^{n}(T),$

zuzuordnen. Dies ist eine recht aufwändige Theorie, von der wir hier nur einige Prinzipien, Ergebnisse und Berechnungsansätze vorstellen können. Wir beschränken uns auf kompakte, also abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ (diese stellen wir uns als einen „starren Körper“ vor). Für den Subgraphen zu einer Funktion, also die Menge (die in der Tat beschränkt und abgeschlossen ist)

${\left\{(x,y)\mid 0\leq y\leq f(x),\,a\leq x\leq b\right\}}$

zu einer stetigen Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

haben wir schon verwendet, dass der Flächeninhalt durch das bestimmte Integral der Funktion berechnet werden kann. Integration ist das wichtigste Hilfsmittel zur numerischen Bestimmung von allgemeinen Volumina.

Wir besprechen nun einige wichtige Prinzipien von Volumina.

Überpflasterungseigenschaften

Integrierbare Funktionen hatten wir über Ober- und Untersummen eingeführt. Für eine beliebige (kompakte) Teilmenge ${}T$ kann man das Volumen ebenfalls über Obersummen berechnen, wobei man Überpflasterungen von ${}T$ mit einer Familie von (achsenparallelen) Quadern ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, betrachtet.

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Eine Familie von (achsenparallelen) Quadern ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, mit ${}T\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}$ nennt man eine Quader-Überpflasterung von ${}T$.

Zu einer endlichen Überpflasterung (bei der also die Indexmenge ${}I$ endlich ist) nennt man die Summe ${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})$ die Quadersumme (oder Quadervolumensumme oder Gesamtvolumensumme) der Überpflasterung. Eine wichtige Charakterisierung des Volumens einer kompakten Teilmenge ist, dass sie gleich dem Infimum über alle Quadersummen von Überpflasterungen ist.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge.

Dann ist das ${}n$- dimensionale Volumen von ${}T$ gleich dem Infimum über die Volumensumme aller endlichen Quader-Überpflasterungen ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, von ${}T$, also

${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {inf} {\left\{\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}\right\}}\,.$

Man könnte insbesondere die rechte Seite, also das Infimum über die Quadervolumensummen von Überpflasterungen, als Definition des Volumens ansetzen. Die Aussage gilt auch, wenn man mit beliebigen Quadern statt nur mit achsenparallelen Quadern arbeitet. Die Infimumseigenschaft bedeutet insbesondere, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine Überpflasterung ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, mit

${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})-\epsilon \leq \lambda ^{n}(T)\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\,$

gibt, das wahre Volumen wird also beliebig genau durch Quadervolumensummen approximiert.

Wir erwähnen einige weitere wichtige Eigenschaften des Volumens. Diese Eigenschaften werden natürlich von einer sinnvollen Volumentheorie erwartet, ihr Nachweis kann aber im einzelnen schwierig sein.

Lemma

1. Für kompakte Teilmengen ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ in ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit ${}T_{1}\subseteq T_{2}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T_{1})\leq \lambda ^{n}(T_{2})\,.$

2. Für kompakte Teilmengen ${}T_{i}$ (${}I$ endlich) ist

   ${}\lambda ^{n}(\bigcup _{i\in I}T_{i})\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(T_{i})\,.$

3. Für ${}T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i}$ mit kompakten Teilmengen ${}T,T_{i}$ (${}I$ endlich) ist

   ${}\lambda ^{n}(T)\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(T_{i})\,.$

Beweis

Wir argumentieren über die Überpflasterungseigenschaft im Sinne von Satz 58.2. Die Eigenschaft (1) ist klar, da eine Quaderüberpflasterung der größeren Menge insbesondere eine Überpflasterung der kleineren Menge ist.

Zum Beweis von (2) können wir uns auf zwei kompakte Teilmengen ${}S$ und ${}T$ beschränken. Nehmen wir an, dass die Aussage nicht stimmt, sei also

${}\lambda ^{n}(S\cup T)>\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)\,.$

Es sei ${}\epsilon >0$ die Differenz. Wir können das Volumen von ${}S$ durch eine Quaderüberpflasterung ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, bis auf einen Fehler ${}\leq {\frac {\epsilon }{3}}$ und ebenso das Volumen von ${}T$ durch eine Quaderüberpflasterung ${}P_{j}$, ${}j\in J$, bis auf einen Fehler ${}\leq {\frac {\epsilon }{3}}$ approximieren. Die Vereinigung der beiden Quaderüberpflasterungen ist eine Quaderüberpflasterung von ${}S\cup T$ mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {2\epsilon }{3}}$. Das ergibt einen Widerspruch.

(3) folgt direkt aus (1) und (2).

$\Box$

Lemma

Es seien ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ disjunkte kompakte Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(T_{1}\cup T_{2})=\lambda ^{n}(T_{1})+\lambda ^{n}(T_{2})\,.$

Beweis

Die Abschätzung ${}\leq$ folgt aus Lemma 58.3  (2).

Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von ${}T_{1}\cup T_{2}$ gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}d(P_{1},P_{2})>0$ für alle ${}P_{1}\in T_{1}$ , ${}P_{2}\in T_{2}$, ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, sodass diese zu (mindestens) einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader jeweils nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie ${}\lambda ^{n}(T_{1})+\lambda ^{n}(T_{2})$.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}T_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ kompakte Teilmengen.

Dann gilt für die Produktmenge ${}T_{1}\times T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{n+m}$ die Beziehung

${}\lambda ^{n+m}(T_{1}\times T_{2})=\lambda ^{n}(T_{1})\cdot \lambda ^{m}(T_{2})\,.$

Eine typische Produktmenge ist ein Zylinder, also das Produkt aus einer Grundmenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer Stecke, also einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Sein Volumen ist das Produkt aus dem Volumen der Grundmenge und der Streckenlänge.

Lemma

Es sei ${}V\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension ${}k<n$ und ${}T\subseteq V$ eine kompakte Teilmenge

Dann ist ${}\lambda ^{n}(T)=0$.

Man beachte, dass dies eine Aussage über das ${}n$-dimensionale Volumen ist, nicht über das ${}k$-dimensionale Volumen als Teilmenge in ${}V\cong \mathbb {R} ^{k}$. Insbesondere besitzen einzelne Punkte im ${}\mathbb {R} ^{n}$, ${}n\geq 1$, das Volumen ${}0$. Da sich jede Teilmenge aus seinen Einzelpunkten zusammensetzt, kann die obige Vereinigungsregel nicht für beliebige Vereinigungen gelten, d.h. die Gleichungskette

${}\lambda ^{n}(T)=\lambda ^{n}{\left(\bigcup _{P\in T}\{P\}\right)}=\sum _{P\in T}\lambda ^{n}(\{P\})=\sum _{P\in T}0=0\,$

ist falsch (andernfalls hätte jede Teilmenge das Volumen ${}0$). Teilmengen, deren Volumen ${}0$ ist, nennt man Nullmenge.

Volumina und lineare Abbildungen

Eine weitere wichtige Eigenschaft der Maßtheorie ist die Translationsinvarianz. Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem Vektorraum ${}V$ und einen Vektor ${}v\in V$ nennt man

${}T+v={\left\{x+v\mid x\in T\right\}}\,$

die um ${}v$ verschobene Menge.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(T+v)=\lambda ^{n}(T)\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus der Überpflasterungseigenschaft, da beliebige Quader-Überpflasterungen mitverschoben werden können und so über die gleiche Menge das Infimum gebildet wird.

$\Box$

Für lineare Abbildungen gilt die folgende Beziehung zwischen dem Volumen einer Teilmenge und dem Volumen ihres Bildes.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto \varphi (x),$

eine lineare Abbildung.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {\det \varphi }\vert \cdot \lambda ^{n}(T)\,.$

Beweis

Dies folgt u.A. aus der multiplikativen Zerlegung einer Matrix in Elementarmatrizen und eine Diagonalmatrix und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.

$\Box$

Korollar

Bei einer Streckung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto av,$

um den Streckungsfaktor ${}a\in \mathbb {R}$ gilt für jede kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

die Formel

${}\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {a}\vert ^{n}\cdot \lambda ^{n}(T)\,.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 58.8

$\Box$

Beispiel

Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in Beispiel 20.10 über ein Integral als ${}\pi$ bestimmt. Unter der durch die Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung wird die Einheitskreisscheibe ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ auf

${\left\{(ax,by)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{a^{2}}}u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}v^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}\leq a^{2}b^{2}\right\}}\,$

abgebildet. Das Bild ist eine (achsenparallele) Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist nach Satz 58.8 gleich ${}\pi ab$.

Das Cavalieri-Prinzip

Das Cavalieri-Prinzip

Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

Für Berechnungen ist das Cavalieri-Prinzip entscheidend. Mit ihm wird die Berechnung eines ${}n$-dimensionalen Volumens auf die Integration des ${}(n-1)$-dimensionalen Volumens des Querschnitts des Körpers ${}T$ zurückgeführt. Zu einer Teilmenge

${}T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}\,$

und einem ${}x\in [a,b]$ nennt man ${}T(x)={\left(\{x\}\times \mathbb {R} ^{n-1}\right)}\cap T$ den Querschnitt von ${}T$ durch ${}x$. Der Querschnitt zu kompaktem ${}T$ ist eine kompakte Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n-1}$ und besitzt somit ein ${}(n-1)$-dimensionales Volumen, das mit ${}x$ variiert.

Satz

Es sei ${}T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}$ eine kompakte Teilmenge und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion

$h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=\lambda ^{n-1}{\left(x\times \mathbb {R} ^{n-1}\cap T\right)}$

stetig ist.

Dann ist

${}\lambda ^{n}(T)=\int _{a}^{b}h(x)\,dx\,.$

Beispiel

Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius ${}r$ berechnen, also von

${}B(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$

Wegen Satz 58.8 gilt dabei ${}\lambda ^{3}(B(r))=r^{3}\lambda ^{3}(B(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Für jedes fixierte ${}u$, ${}-1\leq u\leq 1$, kann man den Querschnitt als

${}{\begin{aligned}T(u)&={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in B(1)\mid x_{3}=u\right\}}\\&={\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1-u^{2}\right\}}\end{aligned}}$

schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius ${}{\sqrt {1-u^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher

${}{\begin{aligned}\lambda ^{3}(B(1))&=\int _{-1}^{1}\lambda ^{2}{\left(B_{2}{\left({\sqrt {1-u^{2}}}\right)}\right)}\,dh\\&=\pi \int _{-1}^{1}1-u^{2}\,du\\&=\pi {\left(u-{\frac {1}{3}}u^{3}\right)}|_{-1}^{1}\\&=\pi {\left(1-{\frac {1}{3}}-{\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)}\right)}\\&=\pi {\frac {4}{3}}.\end{aligned}}$

Rotationsmengen und Kegel

Definition

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nennt man

${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

die zugehörige Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse).

Zu einer Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

nennt man die Rotationsmenge (oder Rotationskörper) zum Subgraphen zu ${}f$ auch den Rotationskörper zu ${}f$.

Satz

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

eine stetige Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu ${}f$ um die ${}x$-Achse.

Dann besitzt ${}K$ das Volumen

${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$

Beweis

Die Querschnittsfläche zu ${}t$ ist ein Kreis mit Radius ${}f(t)$, dessen Flächeninhalt ist ${}\pi f(t)^{2}$ nach Beispiel 20.10. Somit folgt die Aussage aus dem Cavalieri-Prinzip.

$\Box$

Definition

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times 0$ und ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt. Dann nennt man die Menge

${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,$

den Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$.

Satz

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakt, ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei ${}h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von ${}P$.

Dann ist ${}K_{B}$ ebenfalls kompakt, und es gilt

${}\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$

Beweis

Der Durchschnitt von ${}K=K_{B}$ mit der durch ${}x_{n+1}=u$, ${}u$ zwischen ${}0$ und ${}h$, gegebenen Hyperebene ist

${}K(u)={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},u)\in K_{B}\right\}}={\left\{P+{\frac {(h-u)}{h}}(Q-P)\mid Q\in B\right\}}\,.$

Wegen der Translationsinvarianz und Korollar 58.10 ist dessen Volumen gleich ${}\vert {\frac {h-u}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit ${}s=h-u$)

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$

$\Box$

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