Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { x^2 \cdot \exp \left( x^3-4x \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit den Eigenschaften
\mathdisp {f'=f \text{ und } f(0)=1} { . }
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{\exp x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinus}{}{-} und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 16.1} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die $1034871$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { ( \sin x )( \cos x ) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für $n \in \N$ die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { (\sin x )^n } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin \left( \cos x \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty c_n (x-a)^{ n }$ eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $f^{(k)}(a)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ e^x }{ x^2+1 } } } {,} streng wachsend ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) = t^2e^{-t} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {} induziert, und dass die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} eine bijektive, streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Tangensfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {]- \pi/2, \pi/2[ } { \R } {} und die \definitionsverweis {reelle Kotangensfunktion}{}{} eine bijektive streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {\R } {} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} und \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
\mathl{f \circ g}{} nicht periodisch sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f_1,f_2} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {periodische Funktionen}{}{}
mit den Periodenlängen
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {.}
Der Quotient
\mathl{L_1/L_2}{} sei eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{f_1+f_2}{} eine periodische Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Arkussinus}{}{} und \definitionsverweis {Arkuskosinus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = 1 + \ln x - \frac{1}{x} } {.}
a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen \mathkor {} {\R_+} {und} {\R} {} definiert.
b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f'(u)$ und $(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Ableitung der Funktion \maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+ } {x} {f(x) = \pi^x +x^e } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} {\R } {x} {f(x) = e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } } {.} \aufzaehlungfuenf{Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion. }{Zeige, dass diese Funktion injektiv ist. }{Bestimme das Bild von $f$. }{Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an. }{Skizziere den Funktionsgraphen von $f$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = (2x+3)e^{-x^2} } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} und die lokalen (globalen) \definitionsverweis {Extrema}{}{} von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf von
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = e^{-2x} -2e^{-x}
} {.}
Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von $f$,
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow \infty } \, f(x)}{} und ebenso für die Ableitung $f'$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {g} {\R_+} {\R } {x} { \sin { \frac{ 1 }{ x } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0 \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist. Ist der Graph dieser Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungvier{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ (\sin x)^2 }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x^2}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x-1}{ \ln x }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der
\definitionsverweis {Funktionslimes}{}{}
für
\mathbed {x \in \R \setminus \{0\}} {}
{x \rightarrow 0} {}
{} {} {} {,}
existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
\aufzaehlungdrei{$\sin \frac{1}{x}$,
}{$x \cdot \sin \frac{1}{x}$,
}{$\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} {\sin x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Entscheide, ob
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { \sin n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht konvergiert.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {linearen Funktionen}{}{,} die \definitionsverweis {tangential}{}{} zur \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_+ } {\R } {x} { x^x } {.}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Extrema}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = \sin x + \cos x } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir möchten $\pi/2$ möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mit Hilfe der Kosinusreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos x
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ k } x^{2k} }{(2k)!}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes
\zusatzklammer {im Sinne von
Verfahren 11.3} {} {}
bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als $n$-te Approximation $y_n$ für $\pi/2$ die untere Intervallgrenze der $n$-ten Intervallhalbierung
\zusatzklammer {des Ausgangsintervalls
\mathl{[1,2]}{}} {} {}
für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe $\sum_{k = 0 }^n (-1)^k { \frac{ x^{2k} }{ (2k)! } }$ zu verwenden
\zusatzklammer {man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion} {} {}
Man entwerfe ein Computer-Programm \zusatzklammer {Pseudocode} {} {,} das die Folgenglieder $y_n$ berechnet und nacheinander ausdruckt, unter den folgenden Bedingungen. \auflistungsechs{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können. }{Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit \zusatzklammer {diese müssen also nicht erzeugt werden} {} {.} }{Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann die rationalen Rechenoperationen \zusatzklammer {Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl $\neq 0$} {} {} ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen. }{Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken. }
}
{} {\zusatzklammer {Wir behaupten nicht, dass diese Methode eine gegen $\pi/2$ konvergente Folge liefert} {} {.}}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Grenzwert $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{ \ln x }{x-1}$.
}
{} {}