Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

In einer Familie leben ${}M,P,S$ und ${}T$. Dabei ist ${}M$ dreimal so alt wie ${}S$ und ${}T$ zusammen, ${}M$ ist älter als ${}P$ und ${}S$ ist älter als ${}T$, wobei der Altersunterschied von ${}S$ zu ${}T$ doppelt so groß wie der von ${}M$ zu ${}P$ ist. Ferner ist ${}P$ siebenmal so alt wie ${}T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich ${}83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Aufgabe *

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}$

nur die triviale Lösung ${}(0,0)$ besitzt.

Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}x+y+z=0\,.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

$x=5,\,2y=3,\,4z+w=3.$

Aufgabe *

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}$ für das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$

aus Beispiel 21.1?

Aufgabe *

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Aufgabe

Bringe das lineare Gleichungssystem

${}3x-4+5y=8z+7x\,,$

${}2-4x+z=2y+3x+6\,,$

${}4z-3x+2x+3=5x-11y+2z-8\,,$

in Standardgestalt und löse es.

Aufgabe *

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante, der schon im Kontext der Differentialrechnung aufgetaucht ist.

Zu einer auf einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

und zwei verschiedenen Punkten ${}a,b\in T$ heißt die Gerade durch ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ die Sekante von ${}f$ an ${}a$ und ${}b$.

Aufgabe

Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto -x^{3}+x^{2}+2,$

zu den Stellen ${}3$ und ${}4$.

Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,0),\,\,(0,1,2)\,{\text{ und }}\,(2,3,4)$

liegen.

Aufgabe

Finde zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

Aufgabe

Löse über den komplexen Zahlen das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}{\mathrm {i} }x&+y&+(2-{\mathrm {i} })z&=&2\\&7y&+2{\mathrm {i} }z&=&-1+3{\mathrm {i} }\\&&(2-5{\mathrm {i} })z&=&1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe

Es sei ${}K$ der in Beispiel 4.4 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in ${}K$ das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&&=&1\\&y&+z&=&0\\x&+y&+z&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.

In den folgenden vier Aufgaben geht es insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}&+7y&+3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&4\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+4w&=&9\\&-3y&-5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\-2x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3w&=&3\,\end{matrix}}.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}7y=5\,,$

${}4z=8\,,$

${}2u-3v=0\,,$

${}5w=0\,,$

${}6x-3y+2z-11u-v+5w=17\,,$

${}4u-5v=0\,.$

Aufgabe *

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x-5y+7z=-3\,,$

${}-2x+4y+3z=9\,,$

${}x=-2\,.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}3x-67y+14z-123u-51w=5\,,$

${}8x-11y+12z-27u-65w=51\,,$

${}66x-67y-77z-u+100w=0\,,$

${}8x-11y+12z-27u-65w=-15\,,$

${}-301x+44y+33z-31u-18w=571\,.$

Aufgabe *

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter ${}a\in \mathbb {R}$ den Lösungsraum ${}L_{a}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ des linearen Gleichungssystems

${}5x+ay+(1-a)z=0\,,$

${}2ax+a^{2}y+3z=0\,.$

Aufgabe

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y\geq 0\,,$

${}x+y\leq 1\,,$

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Aufgabe

Es sei

${}a_{1}x+b_{1}y\geq c_{1}\,,$

${}a_{2}x+b_{2}y\geq c_{2}\,,$

${}a_{3}x+b3y\geq c_{3}\,,$

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung ${}\geq$ durch ${}\leq$ ersetzt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&1\\2x&+3y&+4z&+5w&=&7\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&9\\x&+5y&+5z&+w&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{10}$, das durch die beiden Gleichungen

${}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=0\,$

und

${}x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}-x_{6}+x_{7}-x_{8}+x_{9}-x_{10}=0\,$

gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen

$E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.$

Bestimme die Schnittgerade ${}E\cap F$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)$

liegen.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x-ay\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\ax\,\,\,\,\,\,\,\,+3z&=&3\\-{\frac {1}{3}}x+y+z&=&2\,\end{matrix}}$

über den reellen Zahlen in Abhängigkeit von ${}a\in \mathbb {R}$. Für welche ${}a$ besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem

${}ax+by=0\,$

${}cx+dy=0\,$

genau dann nur die triviale Lösung ${}(0,0)$ besitzt, wenn ${}ad-bc\neq 0$ ist.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y+x\geq 0\,,$

${}-1-y\leq -x\,,$

${}5y-2x\geq 3\,,$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.