Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Prinzip der vollständigen Induktion

Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte

${}A(0)$ ist wahr.
Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.

Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$ .

???: Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie (Existenz)

Jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ , ${}n\geq 2$ , besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.

D.h. es gibt eine Darstellung

{}n=p_{1}\cdot p_{2}{\cdots }p_{r}\,

mit Primzahlen ${}p_{i}$ .

???: Irrationalität der Quadratwurzel aus 2

Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich ${}2$ ist.

D.h. die reelle Zahl ${}{\sqrt {2}}$ ist irrational.

???: Satz von Euklid (Primzahlen)

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

???: Der Binomische Lehrsatz

Es seien ${}a,b$ Elemente in einem Körper. Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

???: Algebraische Struktur der komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen

bilden einen Körper.

???: Division mit Rest (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$ .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

???: Linearer Faktor und Nullstelle eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ .

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ , wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

???: Anzahl von Nullstellen eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ( $\neq 0$ ) vom Grad ${}d$ .

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

???: Interpolationssatz für Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

???: Eindeutigkeit des Grenzwerts

Eine reelle Folge

besitzt maximal einen Grenzwert.

???: Konvergente Folge ist ...

Eine konvergente reelle Folge

ist beschränkt.

???: Quetschkriterium

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte

x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}

und

${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ .

Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ .

???: Summenregel für konvergente Folgen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}\mathbb {R}$ .

Dann ist die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

???: Produktregel für konvergente Folgen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}\mathbb {R}$ .

Dann ist die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

???: Regel für inverse Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ .

Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

???: Nach oben beschränkte reelle Teilmenge ...

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen

besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$ .

???: Beschränkte monotone reelle Folge ...

Eine beschränkte und monotone Folge in ${}\mathbb {R}$

konvergiert.

???: Cauchykriterium für Reihen

Es sei

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

eine Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle

${}n\geq m\geq n_{0}\,$

die Abschätzung

{}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,

gilt.

???: Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz

Es sei

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

eine konvergente Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$

???: Leibnizkriterium für alternierende Reihen

Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$ .

???: Absolute Konvergenz und Konvergenz

Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen

konvergiert.

???: Majorantenkriterium

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$ .

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergent.

???: Geometrische Reihe

Für alle reellen Zahlen ${}x$ mit ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ absolut und es gilt

{}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.

???: Quotientenkriterium

Es sei

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$

{}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,

für alle ${}k\geq k_{0}$ (insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$ ).

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

???: Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion und ${}x\in D$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$ .

Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$ .

???: Stetigkeit bei Hintereinanderschaltung

Es seien ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und ${}E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

und

g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}

Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Wenn ${}f$ in ${}x\in D$ und ${}g$ in ${}f(x)$ stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ in ${}x$ stetig.

Wenn ${}f$ und ${}g$ stetig sind, so ist auch ${}g\circ f$ stetig.

???: Rechenregeln für stetige Funktionen

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und seien

f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq D$ , auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),

stetig.

???: Der Zwischenwertsatz

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$ .

Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$ .

???: Der Nullstellensatz

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$ .

Dann gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}a\leq x\leq b$ und mit ${}f(x)=0$ ,

d.h. ${}f$ besitzt eine Nullstelle zwischen ${}a$ und ${}b$ .

???: Stetigkeit der Umkehrfunktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige, streng wachsende Funktion.

Dann ist das Bild

${}J:=f(I)\,$

ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

f^{-1}\colon J\longrightarrow I

ist ebenfalls stetig.

???: Wurzelfunktionen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Für ${}n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n},

ist streng wachsend und stetig.

Für ${}n$ gerade ist die Potenzfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},

ist streng wachsend und stetig.

???: Der Satz von Bolzano-Weierstraß

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.

Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.

???: Satz vom Maximum und Minimum

Es sei ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

???: Stetigkeit von Potenreihen

Es sei

{}f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}\,

eine Potenzreihe und es gebe ein ${}x_{0}\neq 0$ derart, dass ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{0}^{n}$ konvergiere.

Dann gibt es ein positives ${}R$ (wobei ${}R=\infty$ erlaubt ist) derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x}\vert <R$ die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen (offenen) Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe ${}f(x)$ eine stetige Funktion dar.

???: Konvergenz des Cauchy-Produkts

Es seien

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}

zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

???: Konvergenz der Exponentialreihe

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ ist die Exponentialreihe

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

absolut konvergent.

???: Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Für reelle Zahlen ${}x,y\in \mathbb {R}$ gilt

${}\exp \left(x+y\right)=\exp x\cdot \exp y\,.$

???: Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Der natürliche Logarithmus

\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,

ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt

${}\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{+}$ .

???: Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen

Für die trigonometrischen Funktionen

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,

und

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,

gelten die Additionstheoreme

${}\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$

und

{}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.

???: Kreisgleichung der trigonometrischen Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,

und

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,

erfüllen für ${}x\in \mathbb {R}$

die Kreisgleichung

${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$

???: Lineare Approximierbarkeit

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion.

Dann ist ${}f$ in ${}a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein ${}s\in \mathbb {R}$ und eine Funktion

$r\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt mit ${}r$ stetig in ${}a$ und ${}r(a)=0$ und mit

{}f(x)=f(a)+s\cdot (x-a)+r(x)(x-a)\,.

???: Differenzierbar und stetig

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion, die im Punkt ${}a$ differenzierbar sei.

Dann ist ${}f$ stetig in ${}a$ .

???: Produktregel für differenzierbare Funktionen

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien.

Dann ist auch das Produkt ${}f\cdot g$ in ${}a$ differenzierbar und es gilt

${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

???: Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien.

Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}a$ besitzt, so ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

???: Kettenregel

Es seien ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und seien

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

und

g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}

Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$ . Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in ${}b:=f(a)$ differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

{}(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.

???: Ableitung der Umkehrfunktion

Es seien ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei

f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}

eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion

f^{-1}\colon E\longrightarrow D.

Es sei

{}f

in

{}a\in D

differenzierbar mit

{}f'(a)\neq 0

.

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b:=f(a)$ differenzierbar mit

${}(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

???: Extrema und Ableitung

Es sei

f\colon {]a,b[}\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion, die in ${}c\in {]a,b[}$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.

Dann ist ${}f'(c)=0$ .

???: Satz von Rolle

Es sei ${}a<b$ und sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion mit ${}f(a)=f(b)$ .

Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}f'(c)=0\,.$

???: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei ${}a<b$ und sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$

???: Ableitungskriterium für konstante Funktionen

Es sei

f\colon {]a,b[}\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)=0$ für alle ${}x\in {]a,b[}$ .

Dann ist ${}f$ konstant.

???: Ableitung und Wachstumsverhalten

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

Die Funktion ${}f$ ist genau dann auf ${}I$ wachsend (bzw. fallend), wenn ${}f'(x)\geq 0$ (bzw. ${}f'(x)\leq 0$ ) für alle ${}x\in I$ ist.

Wenn ${}f'(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng wachsend.

Wenn ${}f'(x)\leq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng fallend.

???: Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei ${}b>a$ und seien

f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit

{}g'(x)\neq 0\,

für alle ${}x\in {]a,b[}$ .

Dann ist ${}g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$

???: Regel von l'Hospital

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und ${}a\in I$ ein Punkt. Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen, die auf ${}I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit ${}f(a)=g(a)=0$ und mit ${}g'(x)\neq 0$ für ${}x\neq a$ . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

{}w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$

und sein Wert ist ebenfalls ${}w$ .

???: Ableitung von Potenzreihen

Es sei

{}g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,

eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion ${}f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$

auf ${}]-r,r[$ konvergent. Die Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

{}f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.

???: Ableitung der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,

ist differenzierbar mit

${}\exp \!'(x)=\exp x\,.$

???: Ableitung der Exponentialfunktionen

Die Exponentialfunktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},

zur Basis ${}a>0$

ist differenzierbar mit

${}{\left(a^{x}\right)}'={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$

???: Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,

ist

$\ln \!'\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$

???: Ableitung von Potenzfunktionen

Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R}$ .

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$

differenzierbar und ihre Ableitung ist

{}f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.

???: Ableitung von Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

ist differenzierbar mit

{}\sin \!'(x)=\cos x\,

und die

Kosinusfunktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,

ist differenzierbar mit

{}\cos \!'(x)=-\sin x\,.

???: Periodizitätseigenschaften von Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

Es ist ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und ${}\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}\cos 0=1$ , ${}\cos \pi /2=0$ , ${}\cos \pi =-1$ , ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$ .

Es ist ${}\sin 0=0$ , ${}\sin \pi /2=1$ , ${}\sin \pi =0$ , ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$ .

???: Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].

???: Taylor-Formel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine ${}(n+1)$ -mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}x\in I$ ein ${}c\in I$ mit

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Dabei kann ${}c$ zwischen ${}a$ und ${}x$ gewählt werden.

???: Taylor-Abschätzung

Es sei ${}I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine ${}(n+1)$ -mal stetig differenzierbare Funktion, ${}a\in I$ ein innerer Punkt und ${}B:={\max {\left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,c\in I\right)}}$ .

Dann gilt zwischen ${}f(x)$ und dem ${}n$ -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

${}\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$

???: Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine ${}(n+1)$ -mal stetig differenzierbare Funktion, und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.

Dann gelten folgende Aussagen.

Wenn ${}n$ gerade ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ kein lokales Extremum.

Es sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)>0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.

Es sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)<0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

???: Potenzreihe und Taylorreihe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ eine Potenzreihe, die auf dem Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere, und es sei

f\colon ]-r,r[\longrightarrow \mathbb {R}

die dadurch definierte Funktion.

Dann ist ${}f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt ${}0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.

???: Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion.

Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar.

???: Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

???: Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

{}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,

die zugehörige Integralfunktion.

Dann ist ${}F$ differenzierbar und es gilt

${}F'(x)=f(x)\,$

für alle ${}x\in I$ .

???: Existenz von Stammfunktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion.

???: Differenz zwischen Stammfunktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Es seien ${}F$ und ${}G$ zwei Stammfunktionen von ${}f$ .

Dann ist ${}F-G$ eine konstante Funktion.

???: Newton-Leibniz-Formel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei.

Dann gilt für ${}a,b\in I$ die Gleichheit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

???: Stammfunktion der Potenzreihe

Es sei ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ eine auf ${}]-r,r[$ konvergente Potenzreihe.

Dann ist die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$

ebenfalls auf ${}]-r,r[$ konvergent und stellt dort eine Stammfunktion für ${}f$ dar.

???: Partielle Integration

Es seien

f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

stetig differenzierbare Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt\,.$

???: Stammfunktion der Umkehrfunktion

Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$ .

Dann ist

${}G(y):=yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\,$

eine Stammfunktion der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ .

???: Substitutionsregel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion. Es sei

g\colon [a,b]\longrightarrow I

stetig differenzierbar.

Dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

???: Lineares Gleichungssystem in Dreiecksgestalt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper ${}K$

lässt sich durch die in Lemma 21.7 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform

${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$

überführen, bei dem alle Startkoeffizienten ${}b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von ${}0$ verschieden sind.

Dabei ist bei ${}d_{m+1}=0$ die letzte Zeile überflüssig und bei ${}d_{m+1}\neq 0$ besitzt das System keine Lösung.

???: Lösungsmenge zu linearem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}

mit ${}m\leq n$ gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente ${}a_{ii}$ alle ungleich ${}0$ seien.

Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln ${}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$ . D.h. die hinteren ${}n-m$ Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.

???: Lösungsmenge zu homogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ .

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

???: Charakterisierungen von Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

Die Familie ist eine Basis von ${}V$ .

Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.

Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung
${}u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\,.$

Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

???: Existenz von Basen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzt ${}V$ eine endliche Basis.

???: Anzahl von Basiselementen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

???: Dimension des Standardraums

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$ .

Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$ .

???: n Vektoren in n-dimensionalem Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$ . Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben.

Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$ .

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$ .

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

???: Festlegungssatz für lineare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Es sei ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$ , ${}i\in I$ , Elemente in ${}W$ .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$
mit
$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

???: Injektivitätskriterium

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

???: Dimensionsformel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

Dann gilt

${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {kern} \varphi \right)+\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,.$

???: Lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\varphi$ surjektiv ist.

???: Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrizenmultiplikation

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ mit Basen

{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.

Es seien

\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W

lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von ${}\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ die Beziehung

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ))\,.

???: Basiswechsel bei linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {u}}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ Basen von ${}W$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$ durch die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde.

Dann wird ${}\varphi$ bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ durch die Matrix

$M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$

beschrieben, wobei ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ und von ${}{\mathfrak {w}}$ nach ${}{\mathfrak {z}}$ beschreiben.

???: Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.

${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Bei ${}m=n$ ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von ${}K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}M$ invertierbar ist.

???: Basiswechsel für Endomorphismen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$ .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}\,.$

???: Rang von Matrix und linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.

Dann gilt

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$

???: Zeilenrang und Spaltenrang

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ .

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Wenn man ${}M$ im Sinne von Satz 21.9 mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix ${}M'$ in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von ${}M'$ .

???: Multilinearität der Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

multilinear.

D.h., dass für jedes ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ , für je ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für ${}u,w\in K^{n}$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

und für ${}s\in K$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

gilt.

???: Strukturelle Eigenschaften der Determinante (alternierend)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Dann besitzt die Determinante

\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,

folgende Eigenschaften.

Wenn in ${}M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist ${}\det M=0$ . D.h., dass die Determinante alternierend ist.

Wenn man in ${}M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor ${}-1$ .

???: Charakterisierung von invertierbar mit Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Es ist ${}\det M\neq 0$ .

Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.

${}M$ ist invertierbar.

Es ist ${}\operatorname {rang} \,M=n$ .

???: Multiplikationssatz für die Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

???: Entwicklungssatz für Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$ -te Zeile und die ${}j$ -te Spalte weglässt.

Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$ )

${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

???: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ .

Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

???: Eigenwerte bei endlichdimensionalem Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es nur endlich viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ .

???: Satz über Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ , wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

???: Geometrische und algebraische Vielfachheit

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$ .

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

???: Diagonalisierbare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist diagonalisierbar.

Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.

Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass
$BMB^{-1}$

eine Diagonalmatrix ist.

???: Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)\,$

gilt.

???: Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist trigonalisierbar.

Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

???: Trigonalisierbarkeit komplexer quadratischer Matrizen

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist ${}M$ trigonalisierbar.