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Mathematische Theorie: Sekundarstufe II

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Vektorraum

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Sei   ein Körper. Eine Menge   zusammen mit zwei Verknüpfungen

  (Vektoraddition)
  (Skalarmultiplikation)

bildet einen Vektorraum über K, wenn für alle   und für alle   folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1.   ist kommutative Gruppe
  2.   und  
  3.   und  
  4.   und  
  5.  


Ein relevantes Beispiel für einen Vektorraum ist der sogenannte Koordinatenraum. Sei   ein Körper und  . Die betrachtete Menge

 

repräsentiert alle geordneten n-Tupel in  .

Im Fall   und   entspricht dies der reellen Ebene.[1]

Linearkombination und Konvexkombination

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Eine Konvexkombination ist eine spezielle Linearkombination von Punkten im reellen Vektrorraum. Hierbei werden die bereits vorhandenen Punkte mithilfe der Konvexkombination verbunden. Man unterscheidet zwischen Konvexkombinationen 1., 2. und 3. Ordnung.

Definition[2]

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Es sei ein reeller Vektorraum   gegeben.
Man nennt eine Linearkombination   mit   wobei   Konvexkombination wenn ...

  • ... alle   und
  • ...  

Veranschaulichung in GeoGebra

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Differenzierbarkeit

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Unter Differenzierbarkeit versteht man die Eigenschaft einer Funktion sich lokal um einem Punkt durch eine lineare Approximation darstellen zu lassen.

Eine Funktion   ist in einem Punkt   aus dem Definitionsbereich differenzierbar, wenn der beidseitige Grenzwert, der sogenannte Differenzenqoutient,

 

exisitiert[3].

Tangente

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Die Tangente ist eine Gerade, welche eine Kurve bzw. den Funktionsgraphen an genau einem Punkt berührt. Die Gerade hat folgende Funktionsgleichung

 

mit der Steigung   und dem y-Achsenabschnitt  [4].

Winkelhalbierende

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Seien A und B Geraden und O der Scheitelpunkt der Geraden A und B.
Die Winkelhalbierende P ist eine Halbgerade mit Ursprung im Scheitelpunkt. Die Halbgerade teilt das Winkelfeld zwischen den Geraden A und B in zwei deckungsgleiche Felder. [5]

 
Winkelhalbierende

Quellen/Literatur

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  1. https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
  2. https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination
  3. https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit
  4. https://de.wikipedia.org/wiki/Tangente
  5. https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelhalbierende