Tabellenkalkulation: Berechnung der Regressionsgeraden
Geogebra: Darstellung der Regression(sgeraden), Darstellung der logistischen Wachstumsfunktionen durch Lösen der Differentialgleichung
f
′
(
t
)
=
k
⋅
f
(
t
)
⋅
(
S
−
f
(
t
)
)
{\displaystyle f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))}
f
(
t
)
=
f
(
0
)
⋅
S
f
(
0
)
+
(
S
−
f
(
0
)
)
⋅
e
−
S
k
t
{\displaystyle f(t)={f(0)\cdot S \over f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}\qquad }
Wachstumskonstante k berechnen:
Für die Borkenkäfer gilt:
S
b
=
(
65520000
⋅
200
4
)
=
3276000000
{\displaystyle S_{b}=({65520000\cdot 200 \over 4})=3276000000}
b
(
0
)
=
102080
{\displaystyle b(0)=102080}
b
(
1
)
=
204160
{\displaystyle b(1)=204160}
Mit der Wachstumsformel bei logistischem Wachstum
f
(
t
)
=
f
(
0
)
⋅
S
f
(
0
)
+
(
S
−
f
(
0
)
)
⋅
e
−
S
k
t
{\displaystyle f(t)={f(0)\cdot S \over f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}\,}
ergibt sich durch die Modellierung durch zwei Werte
Bearbeiten
b
(
1
)
=
b
(
0
)
⋅
S
b
b
(
0
)
+
(
S
b
−
b
(
0
)
)
⋅
e
−
S
b
k
⋅
1
{\displaystyle b(1)={b(0)\cdot S_{b} \over b(0)+(S_{b}-b(0))\cdot e^{-S_{b}k\cdot 1}}\,}
⇒
204160
=
102080
⋅
3276000000
102080
+
(
3276000000
−
102080
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
k
{\displaystyle 204160={102080\cdot 3276000000 \over 102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot k}}\,}
durch Umformungen erhalten wir: ⇒
k
≈
2
,
11593
⋅
10
−
10
{\displaystyle k\approx 2,11593\cdot 10^{-10}}
b
(
t
)
=
102080
⋅
3276000000
102080
+
(
3276000000
−
102080
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
2
,
11593
⋅
10
−
10
⋅
t
{\displaystyle b(t)={102080\cdot 3276000000 \over 102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}}}
F
=
65520000
{\displaystyle F=65520000}
Es ergibt sich in Abhängigkeit zur Funktion der Borkenkäfer also folgende Funktionsvorschrift:
s
(
t
)
=
b
(
t
)
200
{\displaystyle s(t)={b(t) \over 200}}
f
(
t
)
=
65520000
−
s
(
t
)
{\displaystyle f(t)=65520000-s(t)}
f
(
t
)
=
65520000
−
102080
⋅
3276000000
102080
+
(
3276000000
−
102080
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
2
,
11593
⋅
10
−
10
⋅
t
200
{\displaystyle f(t)={{65520000}-{{102080\cdot 3276000000 \over 102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}} \over 200}}}
Obere Schranke für die Anzahl geschädigter Fichten von
S
s
=
16380000
=
S
b
200
{\displaystyle S_{s}=16380000={S_{b} \over 200}}
Untere Schranke der überlebenden Fichten
S
f
=
65520000
−
16380000
=
49140000
{\displaystyle S_{f}=65520000-16380000=49140000}
f
(
t
)
=
f
(
0
)
⋅
S
f
(
0
)
+
(
S
−
f
(
0
)
)
⋅
e
−
S
k
t
{\displaystyle f(t)={f(0)\cdot S \over f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}\qquad }
⇒
1
f
(
t
)
=
f
(
0
)
+
(
S
−
f
(
0
)
)
⋅
e
−
S
k
t
f
(
0
)
⋅
S
{\displaystyle {1 \over f(t)}={f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt} \over f(0)\cdot S}\qquad }
durch Umformungen erhalten wir:
⇒
l
n
(
1
f
(
t
)
−
1
S
)
=
l
n
(
(
S
−
f
(
0
)
)
f
(
0
)
⋅
S
)
−
S
⋅
k
⋅
t
{\displaystyle ln({1 \over f(t)}-{1 \over S})=ln({(S-f(0)) \over f(0)\cdot S})-S\cdot k\cdot t\qquad }
→ Geradengleichung
y
=
m
⋅
x
+
c
{\displaystyle y=m\cdot x+c}
mit
y
=
l
n
(
1
f
(
t
)
−
1
S
)
;
m
=
−
S
⋅
k
;
c
=
l
n
(
(
S
−
f
(
0
)
)
f
(
0
)
⋅
S
)
{\displaystyle y=ln({1 \over f(t)}-{1 \over S})\,;m=-S\cdot k\,;c=ln({(S-f(0)) \over f(0)\cdot S})}
Da S_b = 3276000000 bekannt ist und für Bestimmung des Parameters k die Werte des exponentiellen Wachstums verwendet werden sollen, ergeben sich folgende Daten:
Abbildung: Anzahl Borkenkäfer Anmerkung: Nur Werte bis zum Jahr 14, da im Jahr 15 b(t)>S_b damit der Wert, von dem ln berechnet werden soll negativ
y
=
−
0
,
72
⋅
t
−
11
,
42
{\displaystyle y=-0,72\cdot t-11,42}
Mit
m
=
−
S
⋅
k
{\displaystyle m=-S\cdot k}
k
=
−
m
S
{\displaystyle k=-{m \over S}}
k
≈
2
,
20
⋅
10
−
10
{\displaystyle k\approx 2,20\cdot 10^{-10}}
Durch weitere Umformungen ergibt sich ein neues, der Ausgleichsgerade angepasstes,
b
(
0
)
{\displaystyle b(0)}
b
(
0
)
=
S
b
(
1
+
S
b
⋅
e
c
)
≈
91123
,
60
{\displaystyle b(0)={S_{b} \over (1+S_{b}\cdot e^{c})}\approx 91123,60}
und damit die Funktionsgleichung:
b
(
t
)
=
b
(
0
)
⋅
S
b
b
(
0
)
+
(
S
b
−
b
(
0
)
)
⋅
e
−
S
b
k
t
=
{\displaystyle b(t)={b(0)\cdot S_{b} \over b(0)+(S_{b}-b(0))\cdot e^{-S_{b}kt}}=}
91123
,
60
⋅
3276000000
91123
,
60
+
(
3276000000
−
91123
,
60
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
(
2
,
20
⋅
10
−
10
)
⋅
t
{\displaystyle {91123,60\cdot 3276000000 \over 91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot (2,20\cdot 10^{-10})\cdot t}}}
Ausgleichsgerade:
y
=
−
0
,
72
⋅
t
−
11
,
42
{\displaystyle y=-0,72\cdot t-11,42}
Abbildung: Lineare Regression
f
(
t
)
=
65520000
−
91123
,
60
⋅
3276000000
91123
,
60
+
(
3276000000
−
91123
,
60
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
2
,
20
⋅
10
−
10
⋅
t
200
{\displaystyle f(t)={{65520000}-{{91123,60\cdot 3276000000 \over 91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot 10^{-10}\cdot t}} \over 200}}}
Die Anzahl der Borkenkäfer zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit dieser zur Sättigungsgrenze
Modellierung durch 2 Werte (blau)
b
1
(
t
)
=
102080
⋅
3276000000
102080
+
(
3276000000
−
102080
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
2
,
11593
⋅
10
−
10
⋅
t
{\displaystyle b_{1}(t)={102080\cdot 3276000000 \over 102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}}}
Modellierung durch mehrere Werte (grün)
b
2
(
t
)
=
91123
,
60
⋅
3276000000
91123
,
60
+
(
3276000000
−
91123
,
60
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
2
,
20
⋅
10
−
10
⋅
t
{\displaystyle b_{2}(t)={91123,60\cdot 3276000000 \over 91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot 10^{-10}\cdot t}}}
Abbildung: Beschränktes Wachstum der Borkenkäferpopulation https://www.geogebra.org/classic/m5n7kzvy Anzahl der Fichten zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit dieser zur Borkenkäferanzahl
Modellierung durch zwei Werte (pink)
f
1
(
t
)
=
65520000
−
102080
⋅
3276000000
102080
+
(
3276000000
−
102080
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
2
,
11593
⋅
10
−
10
⋅
t
200
{\displaystyle f_{1}(t)={{65520000}-{{102080\cdot 3276000000 \over 102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}} \over 200}}}
Modellierung durch mehrere Werte (orange)
f
2
(
t
)
=
65520000
−
91123
,
60
⋅
3276000000
91123
,
60
+
(
3276000000
−
91123
,
60
)
⋅
e
−
3276000000
⋅
2
,
20
⋅
10
−
10
⋅
t
200
{\displaystyle f_{2}(t)={{65520000}-{{91123,60\cdot 3276000000 \over 91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot 10^{-10}\cdot t}} \over 200}}}
Abbildung: Beschränkte Abnahme der Fichtenpopulation https://www.geogebra.org/classic/m5n7kzvy 
