Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Implementation - Uni
Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni Bearbeiten
Auswahl der Software Bearbeiten
Ziel: die gegenseitige Beeinflussung zweier Populationen und Regelmäßigkeiten in der Beziehung der Populationen darstellen → Anwendung von Lotka-Volterra-Gleichungen
- Tabellenkalkulation: Diskretisierung Lotka-Volterra (rekursive, schrittweise Berechnung und Plot)
- Maxima: Ableitungsberechnungen, Hessematrix, Eigenwerte (Gleichgewichtszustand als lokales Minimum)
- Octave: Vektorfeld zu gekoppelten Differentialgleichungen, Diskretisierung (Darstellung als Orbit), Höhenlinien
Diskretisierung Lotka-Volterra Bearbeiten
Fichtenpopulation
- Für die Änderungsrate der Fichtenpopulation wurde sowohl die Vermehrung der Fichten als auch die Schädigung der Fichten durch die Borkenkäfer betrachtet. Es ergibt sich folgender Zusammenhang:
- F'(t): Änderungsrate Fichten
- a: Reproduktionsrate Fichten
- b: Sterberate Fichten pro Borkenkäfer
- F(t): Anzahl Fichten zum Zeitpunkt t
- B(t): Anzahl Borkenkäfer zum Zeitpunkt t
Änderungsrate der Fichten Bearbeiten
- Betrachtung der Vermehrung der Fichten, die sich aus der Multiplikation der Reproduktionsrate mit der aktuellen Fichtenanzahl ergibt.
- Der Subtrahend berücksichtigt, wie tödlich ein Zusammentreffen von Fichte und Borkenkäfer ist. Die getöteten Fichten werden abgezogen.
Borkenkäferpopulation Bearbeiten
Für die Änderungsrate der Borkenkäferpopulation wurden sowohl die Sterberate der Borkenkäfer als auch die Reproduktionsrate der Borkenkäfer pro Fichte berücksichtigt. Es ergibt sich folgender Zusammenhang:
- B'(t): Änderungsrate Borkenkäfer
- c: Sterberate Borkenkäfer
- d: Reproduktionsrate Borkenkäfer pro Fichte
- F(t): Anzahl Fichten zum Zeitpunkt t
- B(t): Anzahl Borkenkäfer zum Zeitpunkt t
Änderungsrate der Borkenkäfer Bearbeiten
- Sterberate der Borkenkäfer: Multiplikation der Sterberate mit der aktuellen Borkenkäferanzahl. Da die Population durch Sterbefälle zurückgeht, wird die Konstante c mit einem negativen Vorzeichen versehen.
- zweiter Summand: wie nahrhaft ist ein Zusammentreffen von Fichte und Borkenkäfer und wie wirkt sich dies auf die Reproduktion der Borkenkäfer aus.
- Zusammentreffen von Borkenkäfer und Fichte: Reproduktion der Borkenkäfer steigt → Term hat positiven Einfluss auf die Änderung
Wahl der Parameter Bearbeiten
Parameter a (Reproduktionsrate Fichten) Bearbeiten
- Eine Fichte braucht im Durchschnitt 30 Jahre, um geschlechtsreif zu werden
- pro Fichte entwickeln sich 10 der Samen auch zu einem neuen Baum
Parameter c (Sterberate der Borkenkäfer) Bearbeiten
- Lebenserwartung eines Borkenkäfers beträgt 2 Jahre
Parameter b und d Bearbeiten
- schwer zu schätzen, deshalb ist eine weitere Annahme für die Berechnung dieser Parameter nötig :
In einem Ökosystem gibt es immer einen Gleichgewichtszustand (genauso viele Individuen sterben wie geboren werden) → keine Änderung der Populationsgröße (Änderungsrate=0)
Annahmen für Gleichgewichtszustand Bearbeiten
- (in Tausend)
- Durch Nullsetzen und Umstellen der Änderungsraten erhält man:
Festlegung der Schrittweite Bearbeiten
- Es wurde eine Schrittweite von 0,1 festgelegt, um möglichst viele Punkte in kleinen Abständen zu erhalten und einen ersten Plot durchführen zu können.
- Dabei ergibt sich:
Aus Zyklus 1 wird weiterhin verwendet: Bearbeiten
Lotka-Volterra-Gleichung Bearbeiten
Die Anzahl der Fichten wurde durch 1 000 geteilt, um beide Graphen in einem Koordinatensystem darstellen zu können.
Vektorfeld und Orbitdarstellung des zyklischen Verlaufs mit Octave Bearbeiten
- Darstellung der Differentialgleichung als Vektorfeld mit Octave
- Hierbei stellen die Vektoren mit ihrem Anteil in x- und y-Richtung die Änderung an dem jeweiligen Punkt dar und der zyklische Verlauf der Populationsentwicklung lässt sich an den sich andeutenden Orbits bereits erkennen.
Vektorfeld Bearbeiten
Octave Skript Bearbeiten
Plot Vektorfeld Bearbeiten
Darstellung als Orbit Bearbeiten
Außerdem lässt sich mit Octave die numerische Lösung für die Situation in RLP als Orbit darstellen:
Octave Skript Orbit Bearbeiten
Plot Orbit Bearbeiten
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