Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Implementation - Uni

Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni

Auswahl der Software

Ziel: die gegenseitige Beeinflussung zweier Populationen und Regelmäßigkeiten in der Beziehung der Populationen darstellen → Anwendung von Lotka-Volterra-Gleichungen

Tabellenkalkulation: Diskretisierung Lotka-Volterra (rekursive, schrittweise Berechnung und Plot)
Maxima: Ableitungsberechnungen, Hessematrix, Eigenwerte (Gleichgewichtszustand als lokales Minimum)
Octave: Vektorfeld zu gekoppelten Differentialgleichungen, Diskretisierung (Darstellung als Orbit), Höhenlinien

Diskretisierung Lotka-Volterra

Fichtenpopulation

Für die Änderungsrate der Fichtenpopulation wurde sowohl die Vermehrung der Fichten als auch die Schädigung der Fichten durch die Borkenkäfer betrachtet. Es ergibt sich folgender Zusammenhang:

$F'(t)=a\cdot F(t)-b\cdot F(t)\cdot B(t)$

F'(t): Änderungsrate Fichten
a: Reproduktionsrate Fichten
b: Sterberate Fichten pro Borkenkäfer
F(t): Anzahl Fichten zum Zeitpunkt t
B(t): Anzahl Borkenkäfer zum Zeitpunkt t

Änderungsrate der Fichten

Betrachtung der Vermehrung der Fichten, die sich aus der Multiplikation der Reproduktionsrate mit der aktuellen Fichtenanzahl ergibt.
Der Subtrahend berücksichtigt, wie tödlich ein Zusammentreffen von Fichte und Borkenkäfer ist. Die getöteten Fichten werden abgezogen.

Borkenkäferpopulation

Für die Änderungsrate der Borkenkäferpopulation wurden sowohl die Sterberate der Borkenkäfer als auch die Reproduktionsrate der Borkenkäfer pro Fichte berücksichtigt. Es ergibt sich folgender Zusammenhang:

$B'(t)=-c\cdot B(t)+d\cdot F(t)\cdot B(t)$

B'(t): Änderungsrate Borkenkäfer
c: Sterberate Borkenkäfer
d: Reproduktionsrate Borkenkäfer pro Fichte
F(t): Anzahl Fichten zum Zeitpunkt t
B(t): Anzahl Borkenkäfer zum Zeitpunkt t

Änderungsrate der Borkenkäfer

Sterberate der Borkenkäfer: Multiplikation der Sterberate mit der aktuellen Borkenkäferanzahl. Da die Population durch Sterbefälle zurückgeht, wird die Konstante c mit einem negativen Vorzeichen versehen.
zweiter Summand: wie nahrhaft ist ein Zusammentreffen von Fichte und Borkenkäfer und wie wirkt sich dies auf die Reproduktion der Borkenkäfer aus.
Zusammentreffen von Borkenkäfer und Fichte: Reproduktion der Borkenkäfer steigt → Term hat positiven Einfluss auf die Änderung

Wahl der Parameter

Parameter a (Reproduktionsrate Fichten)

$a={1 \over 30}\cdot 10={1 \over 3}$
Eine Fichte braucht im Durchschnitt 30 Jahre, um geschlechtsreif zu werden
pro Fichte entwickeln sich 10 der Samen auch zu einem neuen Baum

Parameter c (Sterberate der Borkenkäfer)

$c={1 \over 2}$
Lebenserwartung eines Borkenkäfers beträgt 2 Jahre

Parameter b und d

schwer zu schätzen, deshalb ist eine weitere Annahme für die Berechnung dieser Parameter nötig :

In einem Ökosystem gibt es immer einen Gleichgewichtszustand (genauso viele Individuen sterben wie geboren werden) → keine Änderung der Populationsgröße (Änderungsrate=0)

Annahmen für Gleichgewichtszustand

$B_{Gleichgewicht}=200000$

$F_{Gleichgewicht}=100000$ (in Tausend)

Durch Nullsetzen und Umstellen der Änderungsraten erhält man:

$b={a \over B_{Gleichgewicht}}={{1 \over 3} \over 200000}\approx 1,66\cdot 10^{-6}$

$d={c \over F_{Gleichgewicht}}={{1 \over 2} \over 100000}=0,000005$

Festlegung der Schrittweite

Es wurde eine Schrittweite von 0,1 festgelegt, um möglichst viele Punkte in kleinen Abständen zu erhalten und einen ersten Plot durchführen zu können.

Dabei ergibt sich:

$F(t)=F(t-1)+0,1\cdot (a\cdot F(t-1)-b\cdot F(t-1)\cdot B(t-1))$

$B(t)=B(t-1)+0,1\cdot (-c\cdot B(t-1)+d\cdot F(t-1)\cdot B(t-1))$

Aus Zyklus 1 wird weiterhin verwendet:

$F(0)=65520000$
$B(0)=102080$

Lotka-Volterra-Gleichung

Die Anzahl der Fichten wurde durch 1 000 geteilt, um beide Graphen in einem Koordinatensystem darstellen zu können.

Abbildung: Graph zu diskretisierten Lotka-Volterra-Gleichungen

Vektorfeld und Orbitdarstellung des zyklischen Verlaufs mit Octave

Darstellung der Differentialgleichung als Vektorfeld mit Octave
Hierbei stellen die Vektoren mit ihrem Anteil in x- und y-Richtung die Änderung an dem jeweiligen Punkt dar und der zyklische Verlauf der Populationsentwicklung lässt sich an den sich andeutenden Orbits bereits erkennen.