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Mathematische Grundlagen Sek II

Definition Differenzierbarkeit und Ableitung

Sei f eine Funktion auf D → IR und sei D eine Teilmenge von IR.
Sei a aus D eine Stelle, die in D\{a} approximierbar ("annäherbar") ist
Man nennt f differenzierbar an der Stelle a, falls der Grenzwert $lim_{x->a}{f(x)-f(a) \over (x-a)}$ aus IR existiert. (Beachte: für x=a ist dieser Term nicht definiert.)

Ableitung

In dem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert auch als Ableitung von f an der Stelle a und schreibt:

$f'(a)=lim_{x->a}{f(x)-f(a) \over (x-a)}$ . f'(a) ist gerade der Grenzwert der Steigung der Sekanten in a, was der Steigung der Tangente in a entspricht.

Eine Funktion heißt differenzierbar auf einer Menge A, welche eine Teilmenge des Definitionsbereiches ist, wenn an jeder Stelle a aus A der obige Grenzwert existiert, die Funktion also an jeder Stelle a differenzierbar ist.

Differenzialgleichungen

Jede Gleichung, in der eine Ableitung vorkommt, wird als Differenzialgleichung bezeichnet.
Ordnung der Differentialgleichung richtet sich nach der höchsten vorkommenden Ableitungsordnung
Bei der Differentialgleichung für logistisches Wachstum handelt es sich um eine nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung.

Differentialgleichung logistischen Wachstums

$f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))=k\cdot f(t)\cdot S-k\cdot f(t)^{2}$

Durch $f(t)^{2}$ wird diese Differentialgleichung zu einer nicht linearen Differentialgleichung. In einer linearen Differentialgleichung dürfte f(t) lediglich mit einem konstanten Faktor multipliziert werden.

Die Lösung dieser Differentialgleichung wurde innerhalb des Zyklus 2 durchgeführt.

Anwendung Logistisches Wachstum

Hintergrund

durch Lösen der Differentialgleichung $f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$ ergibt sich für das logistische Wachstum
$f(t)={f(0)\cdot S \over f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}\qquad$

Lineare Regression

Idee:

Für Zahlenpaare $(x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2}),\,...,\,(x_{n},y_{n}),\,$ soll eine lineare Funktion $f(x)=m\cdot x+b$ gefunden werden, sodass $f(x_{i})\approx y_{i}$ . Graphisch soll also eine Ausgleichs- oder Regressionsgerade gefunden werden, an der alle Punkte $(x_{i},y_{i})$ so nah wie möglich liegen.

Berechnung:

So nah wie möglich bedeutet für die lineare Regression, dass die Summe der quadratischen Abweichungen, also $\sum _{i=1}^{n}(f(x_{i})-y_{i})^{2}$ minimiert werden soll.
Mit dieser Bedingung gibt es immer eine eindeutig bestimmte Regressionsgerade, die sich ergibt mit

$m={\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n\cdot {\bar {x}}^{2}}$ und $b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}$

$m=$ Steigung der Geraden, ${\bar {x}}={1 \over n}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}$ (Mittelwert der x-Werte), ${\bar {y}}={1 \over n}\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}$ (Mittelwert der y-Werte), $b=$ y-Achsenabschnitt

Herleitung

$\sum _{i=1}^{n}(f(x_{i})-y_{i})^{2}$ soll minimal werden
⇒ $\sum _{i=1}^{n}(mx_{i}+b-y_{i})^{2}$ soll minimal werden

1. Schritt: Wähle ein willkürliches, festes $m$ und zeige, dass $h(b)=\sum _{i=1}^{n}(mx_{i}+b-y_{i})^{2}$ nur dann minimal sein kann, wenn b die angegebene Form $b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}$ hat. Also sind nun $x_{i},\,y_{i},\,m$ feste Zahlen und $h(b)$ hängt nur von $b$ ab.

$h'(b)=\sum _{i=1}^{n}(2\cdot (mx_{i}+b-y_{i}))=0$
⇒ $b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}$

2. Schritt:

Bekannt: für das optimale Paar $(b,m)$ gilt $b={\bar {y}}-m\cdot {\bar {x}}$ (b aus Schritt 1)
Betrachte nun $g(m)=\sum _{i=1}^{n}(mx_{i}+b-y_{i})^{2}$
$g'(m)=2\cdot \sum _{i=1}^{n}((x_{i}-{\bar {x}})^{2}\cdot m)-2\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})=0$

$m={\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n\cdot {\bar {x}}^{2}}$

Berechnung Regressionsgerade für Zyklus 2:

Tabelle

Abbildung: Berechnung Regressionsgerade

Berechnung

$n=15$

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}=105\qquad$ ⇒ $\qquad {\bar {x}}=7$

$\sum _{i=1}^{n}y_{i}=-247,06\qquad$ ⇒ $\qquad {\bar {y}}\approx -16,47$

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}=-1931,36\qquad$

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1015\qquad$

⇒ $m={\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n\cdot {\bar {x}}^{2}}={-1931,36-1515\cdot 7\cdot (-16,47) \over 1015-15\cdot 7^{2}}\approx -0,72$