Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffverteilung im Boden

Themen und Zielsetzung

Das Ausbringen von Stoffen zur Düngung oder Pesti- bzw. Herbizidierung ist ein unverzichtliches Mittel der Landwirtschaft um ausreichend gute Erträge zu gewährleisten. Jedoch sind Rückstände dieser Stoffe in den Ernten und im Boden oft ein Risiko für Mensch und Natur. So kann es unter Umständen zu gesundheitsbedenklichen Konzentration in den Lebensmitteln und zu schädlichen Konzentrationen im Boden kommen wodurch vor allem das Edaphon leidet. Ein Beispiel für solch einen Stoff ist Glyphosat.

Rund 3.000t des umstrittenen Herbizids Glyphosat wurden 2019 in Deutschland verkauft [1]. Besonders auf das Edaphon hat das Herbizid dabei schädliche Wirkung, so lässt nach einiger Zeit durch Anwendung von Glyphosat die Bioturbation in den betroffenen Böden nach. Zudem kommt es zu einer schlechteren Durchlüftung des Bodens.

2018 wurde eine Studie veröffentlicht mit welcher eine Korrelation von Frühgeburten und Glyphosatexposition während der Schwangerschaft nahelegt [2].

Diese Aspekte haben uns dazu bewegt, zu modellieren wie sich ein Stoff nach der Ausbringung auf einer Ackerfläche im Boden im Hinblick auf die Eindringungstiefe über einen bestimmten Zeitraum verteilt. Mit einem geeigneten Modell könnten die möglichen Verunreinigungen von Grundwasser und Trinkwasserquellen verhindert werden. Zudem wäre es möglich, hierfür ein Programm zu erstellen, dass sich beispielsweise ein Winzer auf dem Smartphone installieren kann. Somit könnte einerseits die Umwelt geschont werden, da Überdüngung verhindert werden kann, andererseits könnten Menschen im landwirtschaftlichen Bereich dadurch Kosten sparen. Denn es ist möglich, mit diesem Programm immer nahazu optimal zu düngen.

Ein Vorgang, der bei der Verteilung von Stoffen eine große Rolle spielt ist die Diffusion. Unter der Diffusion versteht man das selbstständige Durchmischen verschiedener Stoffe, aufgrund der Brownschen Molekularbewegung. Besonders stark ist die Diffusion bei Gasen und Flüssigkeiten ausgeprägt. Der schottische Botaniker Robert Brown hatte im Jahre 1827 unter einem Mikroskop beobachten können, dass Teilchen in einer permanenten Eigenbewegung sind. Diese ruckartige Teilchenbewegung ist stark temperaturabhängig und wird über die kinetische Energie, auch „Bewegungsenergie“ beschrieben.

$E_{kin}={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}={\frac {3}{2}}\cdot k\cdot T$

Anhand dieser Gleichung lässt sich erkennen, dass das Quadrat der Geschwindigkeit v proportional zur Temperatur T ist. Somit steigt die Teilchenbewegung bei höherer Temperatur und der Diffusionsvorgang wird schneller. Die Moleküle bewegen sich so vom Ort höherer Konzentration, hin zum Ort niedrigerer Konzentration, wordurch allmählich ein Konzentrationsausgleich stattfindet.

Im Folgenden wird ein Diffusionsmodell zur Schadstoffverteilung entworfen.

Ein weiterer wichtiger Faktor für die Schadstoffverteilung im Boden ist die Gravitationskraft. Je größer die Masse eines Stoffes ist, desto stärker wird dieser zum Erdmittelpunkt gezogen. Dies lässt sich beispielsweise beobachten, wenn man zwei gleich große Kugeln beim Absinken im Wasser beobachtet. Auf beide Kugeln wirkt die gleiche Auftriebskraft aufgrund der gleichen Größe. Die Kugel aus dem Stoff mit der größeren Dichte, wird jedoch stärker von der Erde angezogen, wodurch sie eine höhere Geschwindigkeit beim Absinken erreicht. Somit lässt sich darstellen, dass der Stoff Blei in einem kürzeren Zeitintervall eine größere Tiefe erreicht als zum Beispiel Kupfer, da die Molare Masse von Blei mehr als dreimal so groß ist, wie die von Kupfer. Im Vakuum jedoch fallen schwere Stoffe genau gleich schnell zu Boden wie leichte Stoffe.

Wichtig ist, dass dieser Prozess rein mathematisch betrachtet wird und Prozesse, wie beispielsweise Komplexbildung von Stoffen hier nicht betrachtet wird.

Aufgaben

Das Portfolio wird während des Semesters erstellt. Ergänzen Sie jeweils hier die bereits bearbeitenden Teilaufgaben für hinter der Schadstoffverteilung im Boden: (A2),(A3),(A4),(A5),(A6),(A7)

Gruppenmitglieder

Goet7293, Nils94, Werl4438

Wiki2Reveal Präsentationen

Sie können in Wikiversity Wiki2Reveal-Präsentationen erstellen, die Sie für die Protfolio-Präsentation in der Prüfung verwenden können. Listen Sie hier die verwenden Präsentationen.

• Einführung Thema
• Mathematische Theorie
• Güte von Modellen
• Softwarenutzung
• Modellierungsergebnisse

Zuordnung zu Nachhaltigkeitszielen

• SDG3: Good Health and Well-being
  • Durch eine geringere Schadstoffbelastung der Umwelt ist der Körper weniger schädlichen Stoffen ausgesetzt, welche beispielsweise mit der Nahrung aufgenommen werden. Wenn weniger Schadstoffe auf ein Feld ausgebracht werden, ist später die Schadstoffbelastung der geernteten Nahrungsmittel geringer.

• SDG6: Clean Water and Sanitation
  • Wird die Schadstoffbelastung des Grundwassers verringert, kann eine bessere Trinkwasserqualität gewährleistet werden.

• SDG12: Responsible Consumption and Production
  • Ein nachhaltiger Umgang mit dem Anbau von Nahrungsmitteln kann gewährleistet werden, wenn Ackerflächen vor Überdüngung und zu starker Belastung mit Pestiziden geschützt werden.

• SDG14: Life Below Water
  • Ozeane, Meere und Meeresressourcen können nur vor Übersäuerung und zu hoher Nährstoffbelastung geschützt werden wenn der Einsatz von Düngemitteln und Pestiziden streng kontrolliert wird.

• SDG15: Life on Land
  • Der Schutz des Edaphons kann nur gewährleitet werden wenn der Einsatz von Schadstoff unter Einhaltung von strengeren Richtlinien erfolgt

Rohdaten

Für die Modellierungszyklen sind die folgende Rohdaten verwendet. Rohdaten können entweder tatsächliche existierende Rohdaten sein, auf die Sie zugreifen, oder zufällig nach einer Verteilung generierte Daten sein, auf die Sie die Modellierung anwenden.

Der erste Modellierungszyklus wurde mit Microsoft Excel erstellt. Hier wurde unter anderem die Funktion "Zufallszahl" verwendet. Das Programm rechnet an dieser Stelle mit einer zufällig gewählten Zahl weiter, was beispielsweise für die Bodenbeschaffenheit in unterschiedlichen Tiefen steht. Der Boden auf einem Acker ist kein homogener Stoff, die Adsorption kann somit sehr unterschiedlich ausfallen.

Modellierungszyklus 1

Für den ersten Modellierungszyklus wurden fiktive Labordaten zur Diffusions- und Sickerrate gewählt. Diese Daten müssten normalerweise in aufwendigen und zeitintensiven Versuchen im Labor ermittelt werden. Deshalb wurde auf fiktive Werte zurückgegriffen. Jedoch ist es zu jeder Zeit möglich diese Werte anzupassen. Ebenso verhält es sich mit den Werten der Regenmenge, Löslichkeit und Grenzwert eines Stoffes. Diese sind Stoffspezifisch und somit nicht immer gleich. Auch hier besteht die Möglichkeit diese Daten in der Excel-Tabelle zu ändern.

Modellierungszyklus 2

Für den Modellierungszyklus 2 wurden drei fiktive Diffusionskoeffizienten gewählt welche je nach Richtung noch mit einem Faktor verrechnet wurden. Wie in Modellierungszyklus 1 müssten man hier normalerweise auf Boden- und Witterungsspezifische Laborwerte zurückgreifen. Allerdings ist das Modell so aufgebaut, dass diese Parameter jederzeit mit realen Werten angepasst werden können.

Modellierungszyklus 3

Für den Modellierungszyklus 3 wird lediglich der Diffusionskoeffizient des gewünschten Stoffes benötigt. Ist dieser nicht durch Literaturwerte bekannt muss dieser wieder im Labor ermittelt werden. Hier wurde zur besseren Veranschaulichung mit einem Diffusionskoeffizienten von $D=9.26\cdot 10^{-7}{\frac {m^{2}}{s}}$ gerechnet.

Modellierungszyklen

Modellbildungszyklus

In den Modellierungszyklen wird schrittweise

• modelliert,
• bewertet und
• ein Optimierungsvorschlag gemacht,

der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt

Modellierungszyklus 1

Problemstellung

Ein Stoff wird auf einer landwirtschaftlich genutzten Fläche ausgebracht. Nun stellt sich die Frage, wie sich dieser Stoff in die Tiefe des Bodens ausbreitet. Dies kann, je nach Stoff, für Mensch und Tier zu schädlichen Konzentrationen im Grundwasser führen. In erster Linie breitet sich ein Stoff im Boden über das Wasser durch Diffusion und Versickerung aus. Die Diffusions- und Versickerungsraten richten sich nach der Korngrößenverteilung des Bodens. Je größer die Poren des Bodens, desto schneller verläuft die Verteilung.

Lösungsansatz

Im ersten Modellierungszyklus wurde ein zweidimensionales mathematisches Modell entworfen, welches der Landwirt verwenden kann, um zu berechnen, wie viel er von einem bestimmten Stoff ausbringen kann. Somit kann verhindert werden, einen gewissen Grenzwert im Boden zu überschreiten und es wird ersichtlich, wieviel von diesem Stoff ausgebracht werden muss, um in einer bestimmten Tiefe T nach einem gewissen Zeitintervall Z eine bestimmte Konzentration C zu erreichen. Um das Modell anwenden zu können, werden die folgenden Daten des Stoffes eingetragen:

• Ausbringungsmenge in g/m^2

• Löslichkeit des Stoffes in Wasser in g/l

• Sickerrate in %

• Diffusionsrate in %

Witterungsbedingt folgt zudem:

• Regenmenge in l/m²

In diesem Modellierungszyklus wurde als Beispiel Nitrat betrachtet, welches in Düngemittel Verwendung findet. Hier wurde ein Grenzwert von 50g pro Kubikmeter in Excel eingetragen. Dieser Grenzwert ist eine Vereinfachung aus der Trinkwasserverordnung vom Umweltbundesamt, welcher sich nur auf Wasser bezieht. Im Folgenden wird gerechnet, als ob sich dieser auf das Volumen der Erde beziehen würde. Zunächst wird die Ausbringungsmenge durch die Niederschlagsmenge geteilt, um die tatsächliche Stoffkonzentration C im Wasser des Bodens zu ermitteln. Überschreitet diese die Löslichkeit des Stoffes in Wasser, wird über eine Wenn-Funktion mit der maximalen Löslichkeit des Stoffes in Wasser weiter gerechnet.

In die mittlere Tabelle werden die Anfangsbedingungen der Niederschlagsmenge pro Quadratmeter eingetragen. In der linken Tabelle werden die einzelnen Berechnungen zur Verteilung durchgeführt. Ausgehend von jeder Zelle muss betrachtet werden wie sich der Stoff horizontal nach links und rechts, sowie vertikal und diagonal im Boden verteilt. Dies hat zur Folge, dass die Tabellen pro Bodenelement eine 2 x 3 - Matrix darstellen. In der linken Tabelle wird pro Bodenelement nun die Summe der hinzugekommenen Niederschlagsmengen gebildet. In der rechten Tabelle wird dann die Summe der hinzugekommenen Niederschlagsmengen zum Ursprungswert aus der mittleren Tabelle addiert. Des weiteren werden die abgeflossenen Mengen subtrahiert. Die rot gefärbten Zellen stellen Bereiche dar, in denen keine Berechnung möglich ist, da es sich um Randelemente handelt. Für diesen Modellierungszyklus gilt, dass kein Stoff über die Randelemente entweichen kann, der Stoff ist in diesem Bodenquerschnitt "eingeschlossen".

Diese Abbildung ist ein Ausschnitt aus der linken Berechnungstabelle. Hier wird ersichtlich, wie sich die Verteilung berechnet. Die Funktion "Zufallszahl" gibt eine zufällig generierte Zahl zwischen null und eins aus und wird mit dem Abstand des Intervalls der jeweiligen Sicker- oder Diffusionsrate multipliziert. Anschließend wird die untere Grenze des Intervalls hinzuaddiert. Dies ergibt einen Zufallsbereich im jeweiligen Intervall. Durch diesen Schritt soll simuliert werden, dass die Porengröße des Bodens unterschiedlich sein kann. Ist die Berechnung der neuen Regenmenge zum Zeitpunkt zwei abgeschlossen, so wird die "Wassermenge" im jeweiligen Bodenelement mit der Konzentration C des Stoffes multipliziert und in Tabelle eins festgehalten.

Mithilfe der bedingten Formatierung lassen sich Zellen je nach Wert einfärben. Hohe Konzentrationen wurden in diesem beispiel rot eingeärbt, niedrige Konzentrationen hingegen grün.

Teilt man die vorliegende Stoffmenge durch den entsprechenden Grenzwert des Stoffes, so erhält man einen Faktor, der anzeigt, um welches Vielfache der Grenzwert überschritten wurde.

Aus den einzelnen Tabellen wurden Screenshots erstellt und diese zu einer gif-Datei verarbeitet:

Bewertung

Dieses Modell ist als erster Lösungsansatz als gut einzuschätzen. Jedoch zeigen sich erste Schwächen des Modells:

• Das Modell arbeitet nur im zweidimensionalen Querschnitt durch den Boden. Dies hat zur Folge, dass nur Aussagen über die Verteilung in die Tiefe getroffen werden können. Die räumliche Verteilung ist nur auf dieser Ebene eingeschränkt ersichtlich.

• Es handelt sich um einen geschlossenen Rand, sodass über die Stoffmenge, die den Querschnitt nach links und rechts verlässt, keine Aussage getroffen werden kann. Der Stoff akkumuliert sich an den Rändern.

• Für diese Modellierung müssen im Labor die Sicker- und Diffusionsraten für jeden Bodentyp neu ermittelt werden. Dies stellt eine zeit- und kostenintensive Belastung dar.

Optimierung

Optimiert wurde dieses Modell, indem die Excel Tabelle abhängig von der Größe der Werte eingefärbt wurde. Anschließend wurde eine Gif-Datei erstellt, indem mit "snipping tool" die Tabelle in 20 Zeitintervallen ausgeschnitten wurde. Hier ist dann deutlich sichtbar, dass das Maximum auseinander läuft. Der größte Wert des Maximums wird von Zeitintervall zu Zeitintervall kleiner, da sich die Werte der Konzentration mit jedem Zeitintervall auf immer mehr Zeilen ausbreiten und das Maximum somit breiter wird.

Modellierungszyklus 2

Dieser Modellierungszyklus ist eine Erweiterung des vorherigen. Nun wird das Modell dreidimensional dargestellt. Aus einer Zeile von Modellierungszyklus 1 zuvor, wird jetzt eine komplette Ebene modelliert. Mit dem Tabellenkalkulationsprogramm von Libre Office werden diese Ebenen aus der Vogelperspektive dargestellt und ein Quader aus 5 x 5 x 7 Kästchen modelliert. Dieses Modell erinnert etwas an einen Zauberwürfel, welcher auch ein großer Quader zusammengesetzt aus kleineren Würfeln ist.

Der Schadstoff wird zu Beginn auf die mittleren 3 x 3 Zellen der obersten Schicht aufgetragen und dann modelliert, wie sich dieser im 5 x 5 x 5 -Würfel verteilt. Es wurde angenommen, dass der Schadstoff durch die Außenwand des Würfels abhanden kommen kann. Der Würfel ist also nach außen "offen".

Verteilungsmatrizen, Diffusionskoeffizienten und Ausbringugsmenge pro Feld

Modelliert wurde indem jedes Feld mit einer 3x3 Verteilungsmatrix multipliziert wurde, jede dieser Matrizen stellt eine Verteilungsrichutng da. Die entstandenen Matrizen zeigen, wie viel des Stoffes eines Feldes in welche Richtung diffundiert. Was in die gleiche Richtung diffundieren wird addiert. Ergebnis von solch einem Zyklus ist eine neue Matrix in einem neuen Zeitschritt. Verteilungsrichtungen sind Richtung Oberfläche ("nach oben" im Modell), Verteilungen in der gleichen Ebene ("gleiche Ebene") und in die nächtstiefere Ebene ("nach unten").

Berechnung der Tiefe 1 zum Zeitpunkt 1. Bunte Felder werden zum Feld C3 dieser Ebene addiert Resultierende Ebene für die Tiefe 1 zu Zeitpunkt 1 mit markiertem Feld C3

Felder zu einem neuen Zeitschritt können also Stoffmengen aus bis zu drei Richtungen bekommen. Die 3x3 Verteilungsmatrizen wurden modelliert indem die frei einstellbaren Diffusionskoeffizienten je nach Raumrichtung noch mit einem Faktor dividiert werden, beispielweise durch die Wurzel aus Zwei für die diagonale Diffusion in der gleichen Ebene.

Die Rechte mittlere Ebene wird aus einer Verrechnung der drei linken Ebenen zusammengesetzt

Das Modell besteht aus 5x5 Feldern an der Oberfläche, und 5 verschiedenen Tiefen nach denen das Grundwasser folgt. Insgesamt sind es also sieben verschiedene Ebenen die modelliert wurden. Diffusionen ins Grundwasser wurden akkumuliert, also jeweils mit der Matrix im vorhergegangenen Zeitschritt addiert, in diesem Modell findet keine weitere Diffusion im Grundwasser statt. "Reste", also alles was das Modell durch Diffusionsschritte an den Rändern verlässt, wurden gesondert aufgeführt und Anteilig an der Gesamtausbringungsmenge betrachtet. So verliesen beispielsweise bei den Diffusionskoeffizienten (0,01;0,02;0,03) nach Zehn Zeitschritten bereits 30% des aufgebrachten Stoffes das Modell. In der Realität wäre dies eine Verteilung in angrenzende Äcker, Flüsse oder Wald und Wiesen.

Balkendiagramm zur anteiligen Restbetrachtung mit Trendlinie und Akkumulierte Stoffmenge im Grundwasser zu dem jeweiligen Zeitschritt

Die Rolle der Schwerkraft kann mit einbezogen werden indem der Diffusionskoeffizient in Richtung Grundwasser größer gewählt wird als der in Richtung Oberflächen.

Bewertung 2

Für die Praktische Anwendung ist dieses Modell relativ gut geeignet. Beschränkungen wie die 5x5 Oberfläche existieren jedoch immernoch. Zur visuellen Zwecken ist deshalb ein kleinflächigeres Modell wie Modell 3 eher geeignet, welches auch sehr einfach weitere Zeitschritte modelliert die in Modell 2 mehr per Hand modelliert werden müssen. Der Abdrift von Stoffen außerhalb des Modells ist auch nicht ideal gelöst, da Stoffe ja auch zurückdiffundieren können. Für die Betrachtung in Hinsicht auf die Belastung und zukünftige Belastung von Grundwasser ist das Modell insoweit gut geieignet, dass man mit Experimentalwerten für die Diffusion wahrscheinlich ein hinreichend gutes Ergebnis erzielen könnte. Allerdings unterscheiden sich alle Böden von einander, und Dinge wie Niederschlag, Bodenbeschaffenheit, und Pflanzenwachstum die sich alle auf die Verbreitung des Stoffes auswirken sind alle in dem gleichen Experimentalfaktor zusammengefasst, was zu Problemen bei der praktischen Anwendung führen könnte. Diffusionen folgen auch keinen festen Diffusionsrate, sondern je nach Stoff verschiedenen Diffusionsgesetzen wie dem Fickschen Gesetz in Modell 3.

Optimierung 2

Zum zweiten Modellierungszyklus wurde ein Blasendiagramm erstellt, welches die Verteilung des Stoffes an der Oberfläche zeigt. Wie im ersten Zyklus wurde von diesem Diagramm ebenfalls eine gif-Datei erstellt, die die Verteilung an der Oberfläche in Zeitintervallen darstellt.

Es lässt sich beobachten, dass der Radius der mittigen neun Blasen abnimmt, da der Stoff hier aufgetragen wurde und sich in die Tiefe und in der Ebene verteilt. Währenddessen nimmt das Volumen der 16 äußeren Blasen zu, da dort der Stoff hin diffundiert. Die Diffusion erfolgt stets vom Ort höherer Konzentration zum Ort niedrigerer Konzentration. Dieser Konzentrationsgradient lässt sich im Dreidimensionalen mit dem Nabla-Operatoren beschreiben, welcher sich aus den ersten partiellen Ableitungen nach x, y und z des Ortsvektors zusammensetzt.

Modellierungszyklus 3

Problemstellung

Bei den bisherigen Modellierungszyklen war die Größe der Fläche auf der der Schadstoff ausgebracht wird bereits determiniert. Ebenso wurden feste Diffusionsraten angenommen die nicht der Diffusionsgleichung folgen. In der Diffusionsgleichung nach dem ersten Fickschen Gesetz:

$J=-D\cdot A{\frac {dc}{dx}}$

stellt $J$ die Anzahl der Mole dar die einen gegebenen Querschnitt pro Sekunde durchlaufen. Dementsprechend ist die Einheit von $J$:

$[J]=$ mol $\cdot$ m^-2 $\cdot$ s^-1

Der Therm $dc$ zeigt den Konzentrationsunterschied zweier benachbarter Zellen an die über den Querschnitt $A$ miteinander verbunden sind. Dieser Konzentrationsgradient ändert sich fortlaufend mit der Zeit und der jeweiligen Konzentration der Zellen.

Der Therm $dx$ steht für die Strecke über den der Konzentrationsgradient berechnet wird.

Im dreidimensionalen Fall ergibt sich aus dem zweiten Fickschen Gesetz:

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}$

die Differentialgleichung für die Diffusion aufstellen:

${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(D\nabla c\right)$.

Sie ist identisch mit der Wärmeleitungsgleichung die bei einem n-dimensionalen Problem folgende Fundamentallösung hat:

$H({\vec {x}};t)={\frac {1}{(4\pi at)^{n/2}}}\exp \left(-{\frac {\|{\vec {x}}\|^{2}}{4at}}\right)$

$H$ bezeichnet hier den englischen Begriff Heat-Kernel.

Diese Funktion lässt sich in GeoGebra mit zwei Schiebereglern für $a$ und $t$ darstellen:

Hier ist nur der zweidimensionale Fall dargestellt. Die Werte der z-Achse sind hier die jeweiligen Temperaturen oder Konzentrationen am jeweilgen Punkt auf der Ebene.

Lösungsansatz

Im dreidimensionalen Fall der Schadstoffausbreitung im Boden, kann das lösen dieser Gleichung sehr umständlich sein oder sogar nur numerisch möglich. Werden jedoch Vereinfachungen getroffen kann das mehrdimensionale Problem in ein eindimensionales Problem umgewandelt werden.

So werden in diesem Fall nur Zellen beobachtet die direkt über den Querschnitt $A$ miteinander Verbunden sind. Also nur die sechs Nachbarzellen eines Würfels die mit einer seiner Seiten verbunden sind. Zudem wird die mittlere Weglänge $dx$ auf eine Längeneinheit gesetzt. Somit ergibt sich auch für den Querschnitt eine Fläche von einer Längeneinheit zum Quadrat. Daraus kann nun die Teilchenstromdichte $J$ aus der Diffusionsgleichung des ersten Fickschen Gesetzes wiefolgt berechnet werden:

$J=-D\cdot A{\frac {c_{2}-c_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Mit den Vereinfachungen, dass $x_{2}-x_{1}=1$ und somit $A=(x_{1})^{2}=1$ ergibt sich die Gleichung auf der sich dieser Modellierungszyklus stützt:

$J=-D\cdot (c_{2}-c_{1})$

Die Berechnungen dieses Zyklusses werden in Octave mittels einer Funktion durchgeführt. Der Funktion wird eine vierdimensionale Matrix übergeben die den Boden in drei Raumdimensionen $x$, $y$ und $z$ und einer Zeitdimension $t$ darstellt. Ebenso benötigt die Funktion die Ausbringungskoordinaten $x_{min}$, $x_{max}$ sowie $y_{min}$ und $y_{max}$. Des Weiteren benötigt die Funktion die Schadstoffmenge die in den jeweiligen Zellen ausgebracht wird und den Diffusionskoeffizienten $D$.

Zunächst wird der Schadstoff über eine for-Schleife auf die einzelnen Zellen (je nach Ausbringungskoordinaten) verteilt. Anschließend wird der Stoff mit der Gleichung $J=-D\cdot (c_{2}-c_{1})$ auf die jeweiligen Zellen in den sechs Raumrichtungen verteilt. Diese Berechnung findet je Raumrichtung erneut in einer for-Schleife statt. Die Werte des aussrömenden Stoffes werden in Hilfsmatrizen gespeichert. Durch Addition und Subtraktion (der ausströmende Stoffanteil wird zu den Zielzellen addiert und von den Ursprungszellen abgezogen) dieser Hilfsmatrizen (Matrixaddition) mit der Bodenmatrix zum nächsten Zeitpunkt, kann der zeitlich nächste Zustand des Bodens errechnet werden.

Der gesamte Ablauf kann wieder in einer for-Schleife erfolgen sodass beliebig viele Zeitpunkte berechnet werden können.

Die Teilchenstromdichte entlang der Schwerkraft ist stärker als die Teilchenstromdichte entgegen der Schwerkraft. Deshalb wird die Diffusion in der tiefergelegene Bodenebene mit einem Vorfaktor versehen. Zudem kann die Annahme getroffen werden, dass die Diffusion nach oben nur einen sehr geringen Beitrag leistet. Somit kann diese in den Vorfaktor mit einbezogen werden und in der Funktion unberücksichtigt bleiben.

In diesem Beispiel werden der Funktion folgende Werte übermittelt:

$x=50$, $y=50$, $z=5$, $t=100d$, $x_{min}/y_{min}=20$, $x_{max}/y_{max}=30$, $Schadstoffmenge=200$ und $D=0.08$.

Für die Simulationszeit $t$ wurde hier die Einheit Tage gewählt. Der Diffusionskoeffizient muss dann mit $86400$ multipliziert werden ( $9.26\cdot 10^{-7}\cdot 86400=0.08$) sodass der ursprüngliche Diffusionskoeffizient $D=9.26\cdot 10^{-7}$ beträgt.

Über die Funktionen diffplot und diffplottop werden dann die jeweiligen surface-plots als Bild gespeichert. Diese Bilder können dann zu einem GIF zusammengefasst werden und als Animation angezeigt werden.

Der Quellcode der Funktion diffusion.m

Der Quellcode der Funktionen diffplot.m und diffplottop.m

Ebene 1

Ebene 2

Ebene 3

Ebene 4

Ebene 5

Ebene 1

Ebene 2

Ebene 3

Ebene 4

Ebene 5

Mit Octave lassen sich auch Änderung an der Darstellung des Farbverlaufs anpassen. So kann zum Beispiel interpolated gewählt werden um einen glatteren Farbverlauf darzustellen:

In Octave werden die Werte der 4D-Matrizen gespeichert. Diese kann man sich auch in einer Tabelle ausgeben lassen.

Bewertung

Dieses Modell bringt enorme Vorteile gegenüber den ersten beiden Zyklen. So kann man die Größe der Matrix und somit die Größe der dargestellten Bodenfläche frei wählen. Dies bringt nicht nur den Vorteil ein beliebig großes Areal zu berechnen sondern auch, dass Randbedingungen durch geschicktes Wählen des Modellierungsbereiches obsolet werden. Auch bei diesem Modell wurde wieder ein geschlossener Rand verwendet sodass sich auch hier der jeweilige Stof an den Rändern akkumuliert. So kann die letzte Ebene als Grundwasserebene betrachtet werden aus der sich der Stoff nicht mehr entfernen kann. Es kann also eine absolute Aussage über die Stoffmenge im Grundwasser getroffen werden analog zum Modellierungszyklus 2. Generell werden auch bei diesem Modellierungszyklus aspekte wie die Verdunstung des Wassers und dadurch die Akkumulation von Stoffen im Boden nicht berücksichtigt.

Optimierung

Die Berechnung der Diffusion in der Bodenmatrix mit den o.A. Startwerten dauerte einige Minuten. Dies könnte gerade bei großen Datensätzen zu einem Problem werden. Hier ist die Programmstruktur zu optimieren um die Anzahl der Rechenoperationen zu minimieren und die Berechnung schneller vonstattengehen zu lassen. Ebenso muss auch hier der Diffusionskoeffizient erst labortechnisch für jede Bodenart neu ermittelt werden. Es ist also im Hinblick auf den Zeitfaktor hilfreich, einen allgemeinen Diffusionskoeffizienten zu finden oder den Programmablauf dahingehend umzustellen.

Generelle Probleme der Modellierungszyklen

In diesem Modellierungsthema wurden viele Annahmen getroffen und viele relevante Aspekte der Schadstoffverteilung im Boden wurden aus Gründen der Komplexität nicht beachtet. So hat die Bioturbation durch das Edaphon sicherlich einen großen Anteil an der Verteilung von Stoffen im Boden. Ebenso wurde nicht berücksichtigt, dass gewisse Stoffe von Pflanzen und Tieren verstoffwechselt werden. Auch die Ablagerung von gewissen Stoffen an Bodenmineralien durch Verdunstung des Trägerstoffes Wasser wurde außer Acht gelassen. Diese Faktoren hätten bei Berücksichtigung ein wesentlich komplizierteres Modell zur Folge gehabt. Außerdem sind diese Faktoren regional Unterschiedlich und müssten für jeden betrachteten Boden neu ermittelt werden.

Niveauzuordnung

Sekundarstufe I:

Der erste Modellierungszyklus sollte für Schüler der Sekundarstufe I verständlich sein. Dieser Zyklus lässt sich beispielsweise in eine Unterrichtseinheit einbauen, in der die Prozentrechnung behandelt wird. Mit diesem Basiswissen aus der Schule ist es möglich, selbstständig die verbleibenden Stoffmengen in diesem zweidimensionalen Modell zu berechnen. Wichtig wäre jedoch, dass der Umgang mit einem Tabellenkalkulationsprogramm trainiert wurde.

Sekundarstufe II:

Im zweiten Modellierungszyklus werden tiefgreifende Funktionen in Tabellenkalkulationsprogrammen wie z.B. die Matrizenrechnung benötigt. Zudem benötigt ein Schüler zur Bewältigung dieses Zyklusses Kenntnisse in linearer Algebra.

Universität:

Im dritten Modellierungszyklus muss die Diffusion bekannt sein und Kenntnisse in mathematischer Software wie R und Octave. Auch das verstehen von Differentialgleichungen muss gewährleistet sein.

Modellierungsalternativen

• Es hätte die Modellierungsalternativen gegeben, mir R Studio zu arbeiten. Hier hätte man ein Diffusionsmodell entwerfen zu können, welches den Stofftransport anhand von Wahrscheinlichkeiten beschreibt.

• Ebenfalls hätte man mit WX Maxima die Diffusionsgleichung numerisch lösen können und die entsprechenden Werte hätte man mit einem Tabellenkalkulationsprogramm grafisch auftragen können.

Verwendete Software für die Modellbildung

• Tabellenkalkulation
  • Mit der Excel Tabellenkalkulation lässt sich im ersten Modellierungszyklus sehr gut ein Querschnitt durch den Boden darstellen. So kann man erkennen, in welchen Bereichen zu welchem Zeitpunkt welche Konzentration des Stoffes vorliegt. Im zweiten Modellierungszyklus wurde sie ebenfalls verwendet. Dieses Programm bietet einen guten Überblick, wenn die Zellen der Tabellen abhängig von deren Wert eingefärbt werden. In diesem Programm lassen sich mathematische Zusammenhänge unterschiedlich grafisch darstellen. Hierzu gehört das Blasenmodell aus dem zweiten Modellierungszyklus. Fertig modellierte Funktionen lassen sich auch im Nachhinein ändern und anpassen.

• Geogebra
  • Mit Geogebra wurde im dritten Modellierungszyklus eine Grafik erstellt, welche die Konzentrationsverteilung durch Diffusion über die Wärmeleitungsgleichung über die Zeit im Zweidimensionalen darstellt.

• GNU Octave
  • GNU Octave ist in der Lage eine selbst geschriebene Funktion aufzurufen, die die Berechnung mit gewünschten Parametern automatisch durchführt. Dieses Programm wurde im dritten Modellierungszyklus verwendet. Eine Funktion wurde programmiert, welche die Diffusion im Erdboden berechnet. Des Weiteren wurde mit dem Octave Befehl "surf-plot" gearbeitet, welcher die Schadstoffverteilung in den einzelenen Ebenen darstellt. Aus mehreren Grafiken wurden, wie in den anderen Modellierungszyklen, ebenfalls GIF-Dateien erstellt.

Literatur

• Giancoli, D. C. (2010). Physik Lehr- und Übungsbuch 3. erweiterte Auflage. München: Pearson Studium.

• Binnewies Michael (2011) Allgemeine und Anorganische Chemie 2. Auflage, Spektrum Verlag

• https://www.umweltbundesamt.de/themen/wasser/grundwasser/nutzung-belastungen/faqs-zu-nitrat-im-grund-trinkwasser

• https://de.statista.com/statistik/daten/studie/588345/umfrage/absatz-von-glyphosat-in-deutschland/

• https://ehjournal.biomedcentral.com/articles/10.1186/s12940-018-0367-0