Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Stromerzeugung durch kinetische Energie/Einführung Thema

Modellierungsproblem

• CO2-Emissionen durch Stromerzeugung in Deutschland: Rund 219 Millionen Tonnen (2019)
• doppelt so viel CO2 durch Verbrennen fossiler Brennstoffe, als es ohne die Einwirkung des Menschen der Fall wäre
• „Energy Harvesting“: Ressourcenschonende Art der Energiegewinnung ⇒ Nutzung Umweltenergie wie z.B. Licht, Umgebungstemperatur oder kinetische Bewegung

Modellierungsproblem

In unserem Projekt:

⇒ Energiegewinnung durch kinetische Energie

⇒ Bodenplatten der Firma Pavegen

• dreieckige Hartgummi-Fliesen
• Induktionsgenerator in jeder Ecke
• ca. 5 Watt Strom pro Schritt auf eine Platte (0,005 kWh)

Motto: Schritt für Schritt zu einer nachhaltigeren Energieversorgung

Modellierungsproblem

Wo kommen die Bodenplatten vorwiegend zum Einsatz?

• In Zugstationen, Shopping Centern, Flughäfen und auf öffentlichen Plätzen
  

Wofür wird der erzeugte Strom beispielsweise verwendet?

• Der Gründer Laurence Kemball-Cook sagt selbst, dass Pavegen gut funktioniert, um bestimmte Teile einer Stadt vom Netz zu nehmen.

• Beispiele hierfür seien etwa die Beleuchtung oder die Versorgung mit WLAN.

Endgültiges Modellierungsproblem

• Hauptbahnhof Essen
• 15 größten Bahnhöfe Deutschlands werden bereits mit Ökostrom versorgt
• 15. Platz: Bahnhof am Alexanderplatz in Berlin ca. 154.000 Bahnhofsbesucher:innen pro Tag
• Hauptbahnhof Essen ca. 152.000 Bahnhofsbesucher:innen pro Tag ⇒ noch kein Ökostrom

Endgültiges Modellierungsproblem

• Wie viel Strom kann erzeugt werden, wenn an den Ein-/Ausgängen des Bahnhofs jeweils 20m Pavegen-Platten ausgelegt werden?

Nachhaltigkeitsziele

SDG7: Bezahlbare und saubere Energie

• Bis 2030 soll Anteil der erneuerbaren Energien am Stromverbrauch auf etwa 65 % gesteigert werden
• erfolgreiche Energiewende setzt Umstellung der Energieversorgung voraus
• Erzeugen von Strom durch kinetische Energie = kleiner Baustein dieses Vorhabens

SDG8: Menschenwürdige Arbeit und Wirtschaftswachstum

• Zweig von alternativen Energien schafft Arbeitsplätze
  

⇒ Diese sind notwendig für den Wandel, der in unserer Energieindustrie früher oder später kommen muss.

Nachhaltigkeitsziele

SDG9: Industrie, Innovation und Infrastruktur

• Die innovative Komponente des Modellierungsansatzes liegt ganz klar in der intelligenten Technologie selbst, weshalb solche Innovationen zu einer zukunftsfähigen Industrie beitragen.

SDG11: Nachhaltige Städte und Gemeinden

• Haupteinsatzzweck der Bodenfliesen von Pavegen besteht darin, bestimmte Teile einer Stadt vom Netz nehmen, wie etwa die Beleuchtung.

Nachhaltigkeitsziele

SDG12: Nachhaltige/r Konsum und Produktion

• Bodenfliesen von Pavegen bestehen aus recyceltem Kunststoff und alten Reifen.

SDG13: Maßnahmen zum Klimaschutz

• Die nachhaltige Energieversorgung durch erneuerbare Energien stellt eine Maßnahme zur Bekämpfung des Klimawandels dar.

Rohdaten

https://www.bahnhof.de/bahnhof-de/bahnhof/Essen-Hbf-1035890

Gewinnung der Rohdaten (Besucheranzahl pro Stunde)

Vorinformationen

• Säulendiagramm ⇒ Besucheraufkommen eines Werktages
• Durchschnittliche Besucheranzahl am Essener HBF pro Tag: 152.000 Personen

Ziel

• Berechnung der Besucheranzahl pro Stunde mit Hilfe des Säulendiagramms

Gewinnung der Rohdaten Vorgehensweise

• Diagramm ausdrucken, Säulen abmessen, Summe aller Säulen bilden
• Anzahl der Besucher:innen pro 1cm und pro 1mm berechnen
  

⇒ Anzahl der Besucher:innen pro Stunde berechnen

Rohdaten

• cm gesamt: 103,7
• Besucher:innen pro 1 cm: 152 000 / 103,7 = 1466
• Besucher:innen pro 1 mm: 152 000 / 1037 = 147
• Beispiel Besucheranzahl 10-11 Uhr: 7*1466 + 4*147 = 10850

Rohdaten

• somit entsteht letztlich diese Tabelle:
  

Modellierungszyklus 1

• Modellierung der Stromerzeugung eines Tages am Essener Hauptbhanhof, durch die Benutzung der Pavegen-Platten.

Annahmen:

• 20m Platten an jedem der sechs Ein-/Ausgänge
• durchschnittliche Schrittlänge: 60cm
• alle Besucher:innen laufen vollständig und nur einmal über die Platten
• Pro Schritt: 5 Watt Strom (0,005 kWh)

Modellierungszyklus 1 Rechnungen Tabellenkalkulation

• 20m Platten / 0,6m Schrittlänge = 33,33 Schritte pro Person
• Gesamtanzahl Besucher:innen pro Stunde * 33,33 = Gesamtanzahl Schritte pro Stunde
• Gesamtanzahl Schritte pro Stunde * 0,005 kWh = Stromerzeugung pro Stunde

Modellierungszyklus 1 Ergebnisse

Modellierungszyklus 1 Ergebnisse

• Stromerzeugung am Essener Hauptbahnhof pro Tag
  

Modellierungszyklus 1: Stromverwertung

⇒ Frage: Für wie viele Tage reicht der gewonnene Strom aus, um die Deckenbeleuchtung der Eingangshalle des Essener Hauptbahnhofs vom Netz zu nehmen?

• 1132 LED's (Deckenbeleuchtung Eingangshalle)
• Ergebnis Zyklus 1: Pro Tag 25341 kWh
• durchschnittlicher Stromverbrauch einer LED-Lampe: 0,0075 kWh

Modellierungszyklus 1: Stromverwertung

⇒ Rechnungen:

• 0,0075 kWh · 1132 = 8,49 kWh
• 8,49 kWh · 24 = 203,76 kWh
• 25341 kWh ÷ 203,76 kWh = 124 Tage

⇒ Stromproduktion eines Tages mittels Pavegen-Platten reicht aus, um die LED's der Eingangshalle des Essener Hauptbahnhofs 124 Tage lang mit Strom zu versorgen

Bewertung 1

• nicht jeder der Bahnhofsbesucher:innen benutzt zwangsläufig Ein- oder Ausgang (z.B. nur zum Umsteigen)
• evtl. mehrmalige Benutzung der Platten durch Passanten, die zum Einkaufen in das Bahnhofsgebäude kommen
• normalerweise unterschiedliche Schrittlänge
• verschiedene Wege ⇒ nicht jede Person läuft über die gesamten 20 Meter der ausgelegten Platten

Bewertung 1 Fazit

⇒ Dennoch kann eine Aussage darüber getroffen werden, wie viel Strom erzeugt werden könnte, wenn von einem Werktag mit durchschnittlichem Besucheraufkommen ausgegangen wird und die aufgeführten Behauptungen angenommen werden.

Optimierung 1

⇒ Im ersten Modellierungszyklus wird jeder Stunde eines Tages der produzierter Strom zugeordnet

⇒ zweiter Modellierungszyklus:

• Approximation der Datenpunkte mit stetiger Funktion, die die Stromerzeugung an den darauffolgenden Tagen miteinbezieht
• Bevölkerungswachstum in Deutschland pro Tag soll ebenfalls in die Funktion miteinfließen

Modellierungszyklus 2

Rückblick: Vorheriger Modellierungszyklus:

• Berechnung der Stromerzeugung pro Stunde und eines ganzen Tages, durch die Benutzung der Pavegen-Platten am Essener Hauptbahnhof

⇒ Datenpunkte

Modellierungszyklus 2

Ziel des zweiten Modellierungszyklus

• Approximation der Datenpunkte (aus Modellierungszyklus eins) mit stetiger Funktion
  
• Zukunftsprognose:
  

⇒ Stromerzeugung an den darauffolgenden Tagen

⇒ Bevölkerungswachstum in Deutschland pro Tag

Vorgehensweise

• Daten des ersten Modellierungszyklus "Zeit" und "kWh" in Geogebra übernehmen
• Datenpunkte im Grafikrechner ausgeben lassen
• Parameter der allgemeinen Sinusfunktion a, b, c, d mittels Schieberegler an die Datenpunkte anpassen
  

Modellierungszyklus 2

Daraus ergibt sich folgende Sinusfunktion:

• $f(x)=a\sin(b\cdot x+c)+d$

• $f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900$

Modellierungszyklus 2

Zukunftsprognose in Funktion miteinbeziehen:

• Gesamtbevölkerung Deutschland: 83 700 000 Menschen
• Prognose Bevölkerungswachstum 2021: Durchschnittlich 144 Personen pro Tag
• 144 Personen in Bezug zur Gesamtbevölkerung ⇒ prozentuale Zunahme von 0,000172% pro Tag
• Umgerechnet auf den Essener Hauptbahnhof, mit durchschnittlich 152 000 Besucher:innen pro Tag ⇒ Zuwachs von 0,26144 Bahnhofsbesucher:innen pro Tag

Modellierungszyklus 2

Frage: Wie viele Schritte auf den Pavegen-Platten können somit pro Tag mehr verzeichnet werden und wie viel Strom kann im Umkehrschluss mehr produziert werden?

• Zuwachs von 0,26144 Personen pro Tag · 33,33 (Anzahl der Schritte des ersten Modellierungszyklus)
  

⇒ Anstieg von 8,715 Schritten pro Tag
⇒ 8,715 Schritte · 0.005 (kWh pro Schritt auf eine der Bodenfliesen) = Erhöhung von 0,0436 kWh pro Tag

Modellierungszyklus 2

In Folge dessen wird die Zukunftsprognose in die Sinusfunktion miteingebaut:

• $f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900+0,04\cdot x\cdot {\frac {1}{24}}$

Mit der fertigen Sinusfunktion konnten nun die diskreten Daten durch eine stetige Funktion approximiert werden und es findet darüber hinaus eine Zukunftsprognose pro Tag statt.

Modellierungszyklus zwei

Modellierungszyklus 2

Frage: Welchen Effekt hat das Bevölkerungswachstums auf die Stromerzeugung?

⇒ Vergleich zweier Jahre durch Integration

Modellierungszyklus 2

⇒ Die Sinusfunktion:
$f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900+0,04\cdot x\cdot {\frac {1}{24}}$

⇒ Die Sinusfunktion vereinfacht:
$f(x)={\frac {1}{600}}\cdot x+900\sin({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+900$

⇒ Stammfunktion:
$F(x)={\frac {x^{2}}{1200}}+900x-3600\cos({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+C$

Modellierungszyklus 2

⇒ Strom Jahr 1:
$\int _{0}^{8760}{\frac {1}{600}}\cdot x+900\sin({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+900dx=7950994,56$kWh

⇒ Strom Jahr 2:
$\int _{8760}^{17520}{\frac {1}{600}}\cdot x+900\sin({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+900dx=8070982,05$kWh

⇒ Das erste und zweite Jahr im Vergleich:
$8070982,05-7950994,56=119987,49$ kWh

Bewertung 2

• Erster Versuch des zweiten Zyklus:

⇒ Datenpunkte wurden in die Tabellenkalkulation in Geogebra eingetragen
⇒ Ausgeben der Datenpunkte im Grafikrechner
⇒ Befehl "Trendpoly": Polynomfunktion, die die Datenpunkte approximiert
⇒ Funktion sechsten Grades liefert gute Approximation

Bewertung 2

Bewertung 2

• Problem:
  

⇒ Funktion gibt nur für xЄ[0,23] sinnvolle Funktionswerte an
⇒ Für x⇒+∞ verläuft die Funktion nach +∞ ⇒ somit kann keine Aussage über die Stromerzeugung an den darauffolgenden Tagen getroffen werden

• Lösung:
  

Deshalb wird im zweiten Modellierungszyklus mit allgemeiner Sinusfunktion gearbeitet

Optimierung 2

• Näherung der allgemeinen Sinusfunktion an die Datenpunkte durch Schieberegler ungenau

• Fehler wird im nächsten Modellierungszyklus minimiert

Modellierungszyklus 3

Rückblick: Modellierungszyklus 1:

• Berechnung der Stromerzeugung pro Stunde und eines ganzen Tages, durch die Benutzung der Pavegen-Platten am Essener Hauptbahnhof

⇒ Datenpunkte

Rückblick: Modellierungszyklus 2:

• Approximation der Datenpunkte mittels trigonometrischer Regression, durch Anpassung der Schieberegler an die Datenpunkte
  

Modellierungszyklus 3

Ziel des dritten Modellierungszyklus:

⇒ In diesem Zyklus findet eine Minimierung der Fehlerquadratsumme mit Hilfe des Gradientenabstiegsverfahren statt

⇒ Dafür wird die Fehlerfunktion L aufgestellt

Modellierungszyklus 3

Gradientenabstiegsverfahren allgemein:

• Verfahren des steilsten Abstiegs
  
• Man schreitet, ausgehend von einem Näherungswert, in Richtung des negativen Gradienten

⇒ Gesucht: Minimum der Funktion

Modellierungszyklus 3

Die einzelnen quadratischen Fehler werden folgendermaßen definiert:

$r_{i}=(f(x_{i})-y_{i})^{2}$

Um die Summe unseres quadratischen Fehlers zu berechnen, wird nun eine Fehlerfunktion benötigt, die die Fehler der Funktionswerte von 1 bis 24 aufsummiert.

Modellierungszyklus 3

Aufstellen der Fehlerfunktion L:

$L:R^{4}\to R_{0}^{+}:$

$L(a,b,c,d)=\sum _{i=1}^{24}((f(a,b,c,d,x_{i})-y_{i}))^{2}$

Modellierungszyklus 3

Für die Berechnung der Fehlerquadratsumme werden folgenden Vorinformationen benötigt:

• Die allgemeine Sinusfunktion des zweiten Modellierungszyklus:

⇒ $f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900+0,04\cdot x\cdot {\frac {1}{24}}$

• Die einzelnen Datenpunkte unseres ersten Modellierungszyklus $(x/y)$

Modellierungszyklus 3

Das Gradientenabstiegsverfahren in sechs Schritten

• 1. Partiellen Ableitungen bilden

• 2. Startwerte einsetzen

• 3. Gradient bilden

• 4. Normierung des Gradienten

• 5. Laufen in Richtung des negativen Gradienten

• 6. Schritte von zwei bis fünf wiederholen, wenn Schrittweite Verbesserung liefert
  

Modellierungszyklus 3

⇒ weiterer Verlauf des dritten Modellierungszyklus siehe Maxima

Modellierungszyklus 3

Ergebnis:

• Die neuen Startwerte, um das GAV erneut durchführen zu können, lauten:

a = 899.9999993775588
b = 0.2375006144959525
c = 4.999876087300266
d = 900.0000026975209

Bewertung 3

• Durch den dritten Modellierungszyklus konnte mithilfe des Gradientenabstiegsverfahren eine Verbesserung des Fehlers erzielt und unser Ziel somit erfüllt werden.

Optimierung 3

• Das Ziel im dritten Modellierungszyklus wurde generell erreicht.
• Es wurde eine Verbesserung des Fehlers erzielt, gleichzeitig handelt es sich hierbei aber noch nicht um den kleinstmöglichen Fehler.
• Somit könnte im weiteren Verlauf des Modellierungsprojekts eine Schleife erstellt werden, sodass noch mehrere Iterationsschritte durchgeführt werden, um weitere Verbesserungen des Fehlers erlangen zu können. Die Schleife würde letztlich mit Hilfe eines Abbruchskriteriums enden.

Modellierungsalternativen

• Modellierungszyklus zwei: Polynomfunktion ⇒ allerdings wenig sinnvoll, weil der weitere Verlauf der Funktion nicht zur Veranschaulichung der Zukunftsprognose beigetragen hätte
• Modellierungszyklus drei: Gradientenabstiegsverfahren mit Tabellenkalkulation Libre Office Calc ⇒ allerdings für WxMaxima entschieden, da wir hier direkten Zugriff auf die partiellen Ableitungen hatten und alles in einem Programm erledigen konnten

Verwendete Software für die Modellbildung

Tabellenkalkulation

• Berechnung Wertepaare
• Visualisierung der Daten mittels Säulendiagramm

Geogebra

• Erstellen von Schiebereglern hier sehr einfach
• Datenpunkte konnten durch eine stetige Funktion approximiert werden, indem Anpassung der Parameter erfolgte

Maxima CAS

• direkter Zugriff auf partiellen Ableitungen usw.
• es konnte alles in einem Programm erledigt werden

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