Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Stromerzeugung durch kinetische Energie

Themen und Zielsetzung

Die CO2-Emissionen, die 2019 durch die Stromerzeugung in Deutschland verursacht wurden, lagen bei rund 219 Millionen Tonnen. Durch das Verbrennen fossiler Brennstoffe, wie beispielsweise Braunkohle oder Erdöl, gelangt doppelt so viel CO2 in die Atmosphäre, als es ohne die Einwirkung des Menschen der Fall wäre. Darin begründet liegt unter anderem auch das steigende Interesse am Thema „Energy Harvesting“. Hiermit wird eine ressourcenschonende Art der Energiegewinnung bezeichnet, bei welcher die vorhandene Umweltenergie genutzt wird, wie z.B. Licht, Umgebungstemperatur oder kinetische Bewegung. In unserem Projekt wollen wir deshalb die Energiegewinnung durch kinetische Energie näher beleuchten, indem wir unser Hauptaugenmerk auf die Bodenplatten der Firma Pavegen legen. Hierbei handelt es sich um dreieckige Hartgummi-Fliesen, die mit jeweils einem Induktionsgenerator in jeder Ecke versehen sind, sodass jeder Schritt auf eine solche Platte durch den piezoelektrischen Effekt ca. 5 Watt Strom erzeugt. Unser Projekt steht also ganz unter dem Motto: Schritt für Schritt zu einer nachhaltigeren Energieversorgung.

In der Regel werden die Bodenplatten vorwiegend in Zugstationen, Shopping Centern, Flughäfen und generell an öffentlichen Plätzen eingesetzt - also genau dort, wo viele Menschen unterwegs sind. Der Gründer Laurence Kemball-Cook sagt selbst, dass Pavegen gut funktioniert, um bestimmte Teile einer Stadt vom Netz zu nehmen. Beispiele hierfür seien etwa die Beleuchtung oder die Versorgung mit WLAN. Um ganze Städte zu versorgen braucht es natürlich eine Kombination mit anderen erneuerbaren Technologien.

Deshalb wollen wir die Bodenfliesen in unserem mathematischen Modell am Hauptbahnhof Essen einsetzen und herausfinden, wie viel Tage der Strom der Deckenbeleuchtung der Eingangshalle vom Netz genommen werden könnte, wenn wir die Eingänge im Bahnhofsgebäude mit den Platten versehen. Wir haben uns ganz bewusst für den Hauptbahnhof in Essen entschieden, da die 15 größten Bahnhöfe Deutschlands bereits mit Ökostrom versorgt werden. Allerdings befindet sich auf dem 15. Platz der Bahnhof am Alexanderplatz in Berlin, der ca. 154.000 Reisenden/Bahnhofsbesucher pro Tag verzeichnet. Der Hauptbahnhof Essen liegt demnach, mit seinen 152.000 Reisenden/Bahnhofsbesuchern pro Tag, nur knapp dahinter und wird noch nicht mit Ökostrom versorgt.

Aufgaben

Das Portfolio wird während des Semesters erstellt. Ergänzen Sie jeweils hier die bereits bearbeitenden Teilaufgaben für hinter der Bezeichnung für Ihr Portfolio - z.B. (A1)

Gruppenmitglieder

hube2881 (Jonas Huber), Shirley Betsch, Klara Ruff

Wiki2Reveal Präsentationen

Sie können in Wikiversity Wiki2Reveal-Präsentationen erstellen, die Sie für die Protfolio-Präsentation in der Prüfung verwenden können. Listen Sie hier die verwenden Präsentationen.

• Einführung Thema
• Mathematische Theorie
• Softwarenutzung
• Modellierungsergebnisse
• Gradientenabstiegsverfahren

Zuordnung zu Nachhaltigkeitszielen

• SDG7: SDG 7: Affordable and Clean Energy
  • Bis zum Jahr 2030 soll der Anteil der erneuerbaren Energien am Stromverbrauch auf etwa 65 % gesteigert werden. Wenn wir auf eine erfolgreiche Energiewende hinarbeiten wollen, muss die Energieversorgung grundlegend umgestellt werden. Das Erzeugen von Strom durch kinetische Energie stellt in diesem Kontext zumindest einen kleinen Baustein dieses Vorhabens dar.

• SDG8: Decent Work and Economic Growth
  • Wirtschaftliche Aspekte der Nachhaltigkeit in dem Modellierungsthema sind, dass durch den neuen Zweig von alternativen Energien Arbeitsplätze geschaffen werden, so auch durch das nachhaltige Startup Pavegen. Diese sind notwendig für den Wandel, der in unserer Energieindustrie früher oder später kommen muss.

• SDG9: Industry, Innovation and Infrastructure
  • Die innovative Komponente des Modellierungsansatzes liegt ganz klar in der intelligenten Technologie selbst. Durch Startups wie Pavegen wird auf die Endlichkeit der Ressourcen aufmerksam gemacht und dem Klimawandel Schritt für Schritt entgegengewirkt, weshalb solche Innovationen zu einer zukunftsfähigen Industrie beitragen.

• SDG11: Sustainable Cities and Communities
  • Die Modellierungsthematik beschäftigt sich darüber hinaus auch mit der Nachhaltigkeit von Städten, da die Energiegewinnung durch kinetische Energie genau dazu beitragen kann. So liegt ein Haupteinsatzzweck der Bodenfliesen von Pavegen darin, bestimmte Teile einer Stadt vom Netz nehmen, wie etwa die Beleuchtung, weshalb dies eine Komponente in Richtung einer zukunftsweisenden Stadtentwicklung sein kann. Im folgenden Modellierungsansatz soll der Strom, der durch die kinetische Energie der Bahnhofsbesucher:innen gewonnen wird, für die Deckenbeleuchtung am Hauptbahnhof Essen verwendet werden.

• SDG12: Responsible Consumption and Production
  • Da die Bodenfliesen, die am Essener Hauptbahnhof ausgelegt werden sollen, aus recyceltem Kunststoff und alten Reifen bestehen, wird mit dem Modellierungsprojekt auf den Aspekt der nachhaltigen Produktion eingegangen.

• SDG13: Climate Action
  • Die nachhaltige Energieversorgung, mit Hilfe erneuerbarer Energien, stellt eine Maßnahme zur Bekämpfung des Klimawandels dar und ist ein entscheidender Teil dieses Modellierungsansatzes. In der Studie "Stromsystem 2035+" von Öko-Institut und Prognos (2017) wird deutlich, dass der Ausstieg aus der fossilen Stromerzeugung einen entscheidenden Beitrag zur CO2-Minderung leistet. Alleine durch die Kohlekraftwerke in Deutschland werden aktuell ca. 80% der Co2-Emissionen des Stromsektors verursacht.

Rohdaten

Für die Modellierungszyklen sind die folgende Rohdaten verwendet. Rohdaten können entweder tatsächliche existierende Rohdaten sein, auf die Sie zugreifen, oder zufällig nach einer Verteilung generierte Daten sein, auf die Sie die Modellierung anwenden.

Daten: Modellierungszyklus 1

• Besucheraufkommen

Um die Besucheranzahl pro Stunde am Essener Hauptbahnhof zu bestimmen, wurde das folgende Säulendiagramm eines Werktages näher beleuchtet.

https://www.bahnhof.de/bahnhof-de/bahnhof/Essen-Hbf-1035890

Da das Säulendiagramm leider keine Besucherzahlen beinhaltet, diese aber für unser Modell benötigt werden, haben wir das Diagramm ausgedruckt, die Säulen abgemessen und anschließend die Summe aller Säulen gebildet. Da wir wissen, dass die durchschnittliche Besucheranzahl am Essener Hauptbahnhof pro Tag 152 000 beträgt, konnten wir anschließend die Anzahl der Besucher:innen pro 1cm und pro 1mm berechnen, womit wir schließlich die Gesamtanzahl der Besucher:innen pro Stunde ausrechnen konnten.

Es ergaben sich nun folgende Rechnungen:

• cm gesamt: 103,7
• Besucher:innen pro 1 cm: 152 000 / 103,7 = 1466
• Besucher:innen pro 1 mm: 152 000 / 1037 = 147
• Beispiel Besucheranzahl 10-11 Uhr: 7*1466 + 4*147 = 10850

Hieraus ergeben sich konkret die folgenden Werte:

Somit entsteht letztlich diese Tabelle:

Besucheraufkommen Essen Hauptbahnhof pro Stunde

Uhrzeit	Besucheranzahl
0-1 Uhr	1029
1-2 Uhr	1613
2-3 Uhr	3226
3-4 Uhr	4692
4-5 Uhr	6158
5-6 Uhr	7330
6-7 Uhr	8506
7-8 Uhr	9384
8-9 Uhr	10119
9-10 Uhr	10556
10-11 Uhr	10850
11-12 Uhr	10850
12-13 Uhr	10556
13-14 Uhr	10119
14-15 Uhr	9384
15-16 Uhr	8506
16-17 Uhr	7330
17-18 Uhr	6158
18-19 Uhr	4692
19-20 Uhr	3226
20-21 Uhr	1613
21-22 Uhr	1029
22-23 Uhr	1760
23-0 Uhr	3373

• Hauptbahnhof Essen

https://www.bahnhof.de/resource/blob/1035838/91b5e272c1c2157387c2ee7e540ed341/Essen-Hbf_locationPdf-data.pdf

Quellen

• Das britische Startup Pavegen wandelt unsere Schritte in Energie um
• Wenn jeder Schritt Energie erzeugt
• Wer auf diese Bodenkacheln tritt, erzeugt Strom
• Pavegen: Beim Laufen sauberen Strom erzeugen
• Leuchtender Klimaschutz mit LED
• Wikidepida-Artikel zum Hauptbahnhof Essen
• Hauptbahhof Neustadt(Weinstraße)
• Hauptbahnhof Landau (Pfalz)
• Gleislänge Essen Hauptbahnhof
• Besucheraufkommen Essen Hauptbahnhof
• Zugfahrplan Essen Hauptbahnhof
• 15 größten Bahnhöfe Deutschlands - Ökostrom
• Eingänge Hauptbahnhof Essen
• LED in Eingangshalle
• Stromverbrauch LED

Daten: Modellierungszyklus 2

• Prognose Bevölkerungswachstums Deutschland pro Tag (2021)

Modellierungszyklen

Modellbildungszyklus

In den Modellierungszyklen wird schrittweise

• modelliert,
• bewertet und
• ein Optimierungsvorschlag gemacht,

der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt

Modellierungszyklus 1

In diesem Zyklus modellieren wir die Stromerzeugung am Essener Hauptbahnhof durch die Benutzung der Pavegen-Platten an einem Werktag.

• Es werden 20m Pavegen-Platten an jedem der sechs Ein-/Ausgänge ausgelegt
• Es wird von einer Schrittlänge von 60cm ausgegangen
• Jeder Besucher läuft vollständig und nur einmal über die Platten
• Pro Schritt werden 5 Watt erzeugt dies entspricht 0,005 kWh

Durch die obigen Annahmen ergibt sich eine durchschnittliche Anzahl von 33,33 Schritten pro Person, die benötigt werden, um über die Bodenfliesen zu gelangen (20m Platten / 0,6m Schrittlänge). Die Gesamtanzahl der Besucher:innen pro Stunde wurde deshalb mit dem Faktor 33,33 multipliziert, um die Anzahl der Schritte zu berechnen, die auf den Bodenfliesen insgesamt zurückgelegt werden. Im Anschluss daran wurde die Anzahl der Schritte mit dem Faktor 0,005 multipliziert, da pro Schritt auf eine der Pavegen-Platten 5 Watt Strom erzeugt werden, also 0,005 kWh. So konnte der erzeugte Strom pro Stunde, und summa summarum der erzeugte Strom pro Tag, berechnet werden.

Stromerzeugung durch kinetische Energie am Hauptbahnhof Essen

Zeit	Besucher:innen	Schritte	kWh
0-1 Uhr	1029	34297	171
1-2 Uhr	1613	53761	269
2-3 Uhr	3226	107523	538
3-4 Uhr	4692	156384	782
4-5 Uhr	6158	205246	1026
5-6 Uhr	7330	244309	1222
6-7 Uhr	8506	283505	1418
7-8 Uhr	9384	312769	1564
8-9 Uhr	10119	337266	1686
9-10 Uhr	10556	351831	1759
10-11 Uhr	10850	361631	1808
11-12 Uhr	10850	361631	1808
12-13 Uhr	10556	351831	1759
13-14 Uhr	10119	337266	1686
14-15 Uhr	9384	312769	1564
15-16 Uhr	8506	283505	1418
16-17 Uhr	7330	244309	1222
17-18 Uhr	6158	205246	1026
18-19 Uhr	4692	156384	782
19-20 Uhr	3226	107523	538
20-21 Uhr	1613	53761	269
21-22 Uhr	1029	34297	171
22-23 Uhr	1760	58661	293
23-0 Uhr	3373	112422	562
SUMME	152059	5068126	25341

Mittels der errechneten Daten kann die Stromerzeugung am Essener Hauptbahnhof pro Tag mit folgendem Säulendiagramm veranschaulicht werden:

In der Bahnhofshalle des Essener Hauptbahnhofs werden für die Deckenbeleuchtung 1132 LED's eingesetzt. Durch die Bodenfliesen können laut unser Modellierung in Zyklus 1 pro Tag 25341 kWh erzeugt werden. Nun stellt sich die Frage, für wie viele Tage der gewonnene Strom ausreicht, um die Deckenbeleuchtung der Eingangshalle des Essener Hauptbahnhofs vom Netzt zu nehmen. Es wird von einem durchschnittlichen Stromverbrauch von 6-9 Watt pro LED-Lampe ausgegangen, also im Schnitt ca. 0,0075 kWh. Pro Tag werden durch die ausgelegten Pavegen-Platten 25341 kWh produziert, was den Ergebnissen des ersten Modellierungszyklus entnommen werden kann (siehe Tabelle oben). Somit ergeben sich folgende Rechnungen:

• 0,0075 (kWh pro LED) · 1132 (LED's der Eingangshalle) = 8,49 kWh, die pro Stunde für die LED's benötigt werden.
  

• 8,49 (Verbrauch aller LED's pro Stunde) · 24 (Stunden pro Tag) = 203,76 kWh, die pro Tag für die LED's benötigt werden.
  

• 25341 (kWh pro Tag durch die Platten) ÷ 203,76 (kWh zur Beleuchtung der LED's pro Tag) = 124 Tage
  

Demnach würde die Stromproduktion mittels der Pavegen-Platten an einem Tag dafür ausreichen, um die LED's der Eingangshalle des Essener Hauptbahnhofs 124 Tage lang mit Strom zu versorgen, wenn durch die Bodenfliesen 25341 kWh binnen eines Tages produziert werden könnten. In der Bewertung werden wir allerdings Argumente dafür aufführen, weshalb die Stromproduktion pro Tag in der Realität höchstwahrscheinlich geringer ausfallen würde.

Bewertung 1

Es wurde vernachlässigt, dass nicht jeder der Bahnhofsbesucher:innen auch zwangsläufig einen Ein- oder Ausgang benutzt. Viele der Besucher:innen benutzen den Bahnhof lediglich zum Umsteigen und würden somit keinen Strom erzeugen. Ebenso käme aber auch eine mehrmalige Benutzung der Platten in Frage, beispielsweise von jenen Personen, die nur zum Einkaufen in das Bahnhofsgebäude kommen. Außerdem gilt es zu beachten, dass zum einen normalerweise die Schrittlänge der unterschiedlichen Personen variiert und zum anderen verschiedene Wege gegangen werden, was im Umkehrschluss bedeutet, dass nicht jede Person über die gesamten 20 Meter der ausgelegten Platten laufen würde. Dadurch spiegeln die berechneten Ergebnisse nicht die komplette Realität wider, dennoch kann eine Aussage darüber getroffen werden, wie viel Strom erzeugt werden könnte, wenn von einem Werktag mit durchschnittlichem Besucheraufkommen ausgegangen wird und die aufgeführten Behauptungen angenommen werden.

Optimierung 1

Im ersten Modellierungszyklus wird jeder Stunde eines Tages der jeweils produzierte Strom zugeordnet. Im weiteren Verlauf soll allerdings eine Funktion erstellt werden, in der auch die Stromerzeugung an den darauffolgenden Tagen miteinbezogen wird. Darüber hinaus soll das Bevölkerungswachstum, als weiterer Faktor auf die Zukunftsprognose, in die Funktion miteingebunden werden, sodass die Stromerzeugung an den darauffolgenden Jahren realistischer prognostiziert werden kann.

Modellierungszyklus 2

In diesem Zyklus wird die Zukunftsprognose der Stromerzeugung pro Tag modelliert. Aus der Tabelle des ersten Modellierungszyklus werden die Daten "Zeit" und "kWh" in Geogebra übernommen. Diese werden dort in die Tabellenkalkulation eingegeben, sodass die Datenpunkte anschließend im Grafikrechner angezeigt werden können. Die gegebenen diskreten Daten sollen nun durch eine stetige Funktion abgebildet werden, in welcher gleichzeitig eine Zukunftsprognose miteinfließen soll. Deshalb wird hier mit einer allgemeinen Sinusfunktion gearbeitet, die die Datenpunkte approximieren soll, in dem die Parameter a (Amplitude), b (Periode), c (Verschiebung in x-Achse) und d (Verschiebung in y-Achse) mittels Schieberegler an die Datenpunkte angepasst werden.

Daraus ergibt sich folgende Sinusfunktion:

• $f(x)=a\sin(b\cdot x+c)+d$

• $f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900$

Im weiteren Verlauf der Modellierung wird nun die Zukunftsprognose miteinbezogen. Die Gesamtbevölkerung in Deutschland umfasst 83 700 000 Menschen. Die Bevölkerung wächst laut einer aktuellen Prognose für 2021 jeden Tag im Durchschnitt um 144 Personen. Setzt man die 144 Personen in Bezug zur Gesamtbevölkerung, ergibt sich eine prozentuale Zunahme von 0,000172% pro Tag. Umgerechnet auf den Essener Hauptbahnhof, mit durchschnittlich 152 000 Besucher:innen pro Tag, kann ein Zuwachs von 0,26144 Bahnhofsbesucher:innen pro Tag errechnet werden. Um herauszufinden, wie viele Schritte auf den Pavegen-Platten somit pro Tag mehr verzeichnet werden können, wird der Zuwachs von 0,26144 Personen pro Tag mit dem Faktor 33,33 (Anzahl der Schritte von Modellierungszyklus 1) multipliziert. Hieraus ergibt sich einen Anstieg von 8,715 Schritten pro Tag. Die 8,715 Schritte werden letztlich mit dem Faktor 0.005 (kWh pro Schritt auf eine der Bodenfliesen) multipliziert, sodass pro Tag eine Erhöhung von 0,0436 kWh prognostiziert werden kann.

In Folge dessen wird die Zukunftsprognose in die Sinusfunktion miteingebaut:

• $f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900+0,04\cdot x\cdot {\frac {1}{24}}$

Mit der fertigen Sinusfunktion konnten nun die diskreten Daten durch eine stetige Funktion approximiert werden und es findet darüber hinaus eine Zukunftsprognose pro Tag statt.

Um nun den Effekt des Bevölkerungswachstums auf die Stromerzeugung am Essener Hauptbahnhof greifbar zu machen, wird im weiteren Verlauf des Modellierungszyklus 2 ein Vergleich der ersten beiden Jahre, bezogen auf die Stromerzeugung, stattfinden. Es wird zunächst ein bestimmtes Integral gebildet, mit der unteren Integrationsgrenze 0 und der oberen Integrationsgrenze 8759 (da ein Jahr aus 8760 Stunden besteht) für die Funktion ƒ(x). Im Anschluss daran wird ein bestimmtes Integral mit den Integrationsgrenzen 8760 und 17520 gebildet, womit schließlich die Stromproduktion der ersten beiden Jahre verglichen werden kann. Die Ergebnisse werden im Folgenden zusammengefasst.

Die Sinusfunktion:

▶ $f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900+0,04\cdot x\cdot {\frac {1}{24}}$

Die Sinusfunktion vereinfacht:

▶ $f(x)={\frac {1}{600}}\cdot x+900\sin({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+900$

Die dazugehörige Stammfunktion:

▶ $F(x)={\frac {x^{2}}{1200}}+900x-3600\cos({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+C$

Der Strom, der innerhalb eines Jahres erzeugt wird:

▶ $\int _{0}^{8760}{\frac {1}{600}}\cdot x+900\sin({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+900dx=7950994,56$ kWh

Der Strom, der innerhalb des zweiten Jahres erzeugt wird:

▶ $\int _{8760}^{17520}{\frac {1}{600}}\cdot x+900\sin({\frac {1}{4}}\cdot x+5)+900dx=8070982,05$ kWh

Das erste und zweite Jahr im Vergleich:

▶ $8070982,05-7950994,56=119987,49$ kWh

⇒ Im zweiten Jahr wird ca. 119987,49 kWh mehr Strom erzeugt.

Bewertung 2

Im ersten Durchgang des zweiten Modellierungszyklus wurden die Datenpunkte, wie oben beschrieben, in die Tabellenkalkulation in Geogebra eingetragen und anschließend im Grafikrechner ausgegeben. Durch den Befehl ‚,Trendpoly‘‘ konnte eine Polynomfunktion erzeugt werden, die die Datenpunkte approximiert. Hierbei konnte festgestellt werden, dass eine Funktion sechsten Grades eine gute Approximation der diskreten Daten ermöglicht. Da die Funktion allerdings nur für x∈[0,23] sinnvolle Funktionswerte angibt und dann für x ⇒ +∞ nach +∞ verläuft, musste man feststellen, dass mit dem weiteren Verlauf der Funktion - nach 24 Stunden - keine Aussage mehr darüber getroffen werden kann, wie die Stromerzeugung an den darauffolgenden Tagen aussieht.

Deshalb wurde die Entscheidung getroffen, in Modellierungszyklus 2 mit einer allgemeinen Sinusfunktion zu arbeiten.

Optimierung 2

Im zweiten Modellierungszyklus wurden die Datenpunkte des ersten Modellierungszyklus mit Hilfe einer allgemeinen Sinusfunktion approximiert. Die Näherung der Funktion an die Datenunkte erfolgte mittels der Schieberegler, weshalb die Datenpunkte natürlich nicht exakt getroffen werden. Deshalb soll im nächsten Modellierungszyklus eine Minimierung des Fehlers stattfinden.

Modellierungszyklus 3

Im vorherigen Zyklus wird eine trigonometrische Regression durchgeführt. Die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion wurden mittels Schieberegler so bestimmt, dass sie die Menge der bereits bekannten Wertepaare approximieren - dies bedeutet, dass eine möglichst geringe Fehlerquadratsumme daraus resultieren soll. Da die Datenpunkte allerdings nicht exakt getroffen werden, soll in diesem Zyklus eine Minimierung der Fehlerquadratsumme mit Hilfe des Gradientenabstiegsverfahren stattfinden, indem die Fehlerfunktion L aufgestellt und das Verfahren durchgeführt wird, sodass letztlich die Fehler der ermittelten Parameter a=900, b=0,25, c=5 und d=900 minimiert werden können.

Die einzelnen quadratischen Fehler werden folgendermaßen definiert:

$r_{i}=(f(x_{i})-y_{i})^{2}$

Um die Summe des quadratischen Fehlers berechnen zu können, wird nun eine Fehlerfunktion benötigt, die die Fehler der Funktionswerte von 1 bis 24 aufsummiert.

Aufstellen der Fehlerfunktion L:

$L:\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} _{0}^{+}:$

$L(a,b,c,d)=\sum _{i=1}^{24}(\mid (f(x_{i})-y_{i})\mid )^{2}$

Hierfür werden folgenden Vorinformationen benötigt:

• Die allgemeine Sinusfunktion des zweiten Modellierungszyklus:

$f(x)=900\sin(0,25\cdot x+5)+900+0,04\cdot x\cdot {\frac {1}{24}}$

• Die einzelnen Datenpunkte unseres ersten Modellierungszyklus $(x/y)$

Datenpunkte $(x/y)$

x- Zeit	y- kWh
0	171
1	269
2	538
3	782
4	1026
5	1222
6	1418
7	1564
8	1686
9	1759
10	1808
11	1808
12	1759
13	1686
14	1564
15	1418
16	1222
17	1026
18	782
19	538
20	269
21	171
22	293
23	562

Hierfür wurden in Maxima zwei Vektoren erstellt, welche die zuvor ermittelten x- und y-Werte darstellen (x = Stunde, y = erzeugte kWh).

Nun wird die Summe des quadratischen Fehlers berechnet. Dies geschieht durch das Einsetzen der Startwerte in die Fehlerfunktion L. Die Startwerte wurden bereits, durch die Anpassung der einzelnen Parameter mittels Schieberegler, in Modellierungszyklus zwei gewonnen. Neben der Berechnung des gesamten quadratischen Fehlers, wird eine Schleife erstellt, um darüber hinaus die einzelnen Fehler berechnen zu können.

In Folge dessen werden die partiellen Ableitungen der Fehlerfunktion L nach a, b, c und d gebildet und im Anschluss daran definiert. Hier am Beispiel der partiellen Ableitung nach a:

Im nächsten Schritt erfolgt, mit Hilfe der zuvor gebildeten partiellen Ableitungen, die Definition des Gradienten:

Durch das Einsetzen der in Modellierungszyklus zwei ermittelten Startwerte, erhalten wir den Vektor v_1:

Um den Gradienten zu normieren, muss im Folgenden die Länge des Vektors v_1 bestimmt werden:

Es folgt die Definition des Ortsvektors v_0 (Vektor Startwerte) und die Normierung des Gradienten, wodurch schließlich der Richtungsvektor v_r entsteht:

Im Anschluss daran wird eine Schrittweite s0 festgelegt. In unserem Fall wird mit einer Schrittweite von 0,1 gestartet und die erste Iteration durchgeführt. An dieser Stelle muss festgestellt werden, dass dies zu einer Vergrößerung des Fehlers führt, da die Schrittweite zu groß gewählt wurde.

Da keine Verbesserung des Fehlers stattfinden konnte, muss die Schrittweite so lange halbiert werden, bis eine Verbesserung des Fehlers vorliegt. In unserem Fall konnte nach viermaliger Halbierung der Schrittweite eine Verbesserung erzielt werden.

V_5 stellt nun die neue Näherung und somit den neuen Ortsvektor dar, um das Gradientenabstiegsverfahren erneut durchführen zu können und schließlich weitere Verbesserungen zu erzielen.

Bewertung 3

Durch den dritten Modellierungszyklus konnte mithilfe des Gradientenabstiegsverfahren eine Verbesserung des Fehlers erzielt und unser Ziel somit erfüllt werden.

Optimierung 3

Das Ziel im dritten Modellierungszyklus wurde generell erreicht. Es wurde eine Verbesserung des Fehlers erzielt, gleichzeitig handelt es sich hierbei aber noch nicht um den kleinstmöglichen Fehler. Somit könnte im weiteren Verlauf des Modellierungsprojekts eine Schleife erstellt werden, sodass noch mehrere Iterationsschritte durchgeführt werden, um weitere Verbesserungen des Fehlers erlangen zu können. Die Schleife würde letztlich mit Hilfe eines Abbruchskriteriums enden.

Niveauzuordnung

Sekundarstufe I:

Arbeiten mit einer Tabellenkalkulationssoftware

• Daten in Excel eintragen
• Ausgewählte Daten mittels Säulendiagramm visualisieren

(Daten graphisch aufbereiten)

Sekundarstufe II:

• Arbeiten mit Geogebra

⇒ Förderung des entdeckenden Lernens durch die Variation verschiedener Parameter

• trigonometrische Regression
• Integralrechnung

⇒ Funktionen mittels Stammfunktionen integrieren

• Lösungswege kritisch reflektieren und bewerten

Universität:

• Gradientenabstiegsverfahren

Modellierungsalternativen

Es hätte die Modellierungsalternative gegeben in Modellierungszyklus zwei mit einer Polynomfunktion zu arbeiten, allerdings sind wir zu dem Entschluss gekommen, dass dies wenig sinnvoll ist, weil der weitere Verlauf der Funktion nicht zur Veranschaulichung der Zukunftsprognose beigetragen hätte. Zudem hätte man das Gradientenabstiegsverfahren im dritten Modellierungszyklus auch mit der Tabellenkalkulation Libre Office Calc durchgeführen können. Wir haben uns allerdings für WxMaxima entschieden, da wir hier direkten Zugriff auf die partiellen Ableitungen hatten und alles in einem Programm erledigen konnten.

Verwendete Software für die Modellbildung

• Tabellenkalkulation

Im ersten Modellierungszyklus haben wir uns dafür entschieden, mit einem Tabellenkalkulationsprogramm zu arbeiten, da wir hier unsere Wertepaare berechnen und direkt mittels Säulendiagramm veranschaulichen konnten.

• Geogebra

Im weiteren Verlauf der Modellierung haben wir dann mit Geogebra gearbeitet, da das Erstellen von Schiebereglern hier sehr einfach ist und wir somit unsere Datenpunkte durch eine stetige Funktion approximieren konnten, indem eine Anpassung der Parameter erfolgte.

• Maxima CAS

Für die Durchführung des dritten Modellierungszyklus schien uns Maxima am geeignetsten, da wir hier direkten Zugriff auf die partiellen Ableitungen usw. hatten und alles in einem Programm erledigen konnten.