Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 33/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten in der Situation von Beispiel 24.8 die Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_1 }
{ = }{ { \frac{ dz }{ w } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_2 }
{ = }{ { \frac{ z dz }{ w } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $\Gamma { \left( X, \Omega_X \right) }$. \aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {Periodentupel}{}{} für die Wege $\gamma, \theta \circ \gamma, \theta^2 \circ \gamma, \theta^3 \circ \gamma$ bezüglich dieser Basis. } {Bestimme das \definitionsverweis {Periodengitter}{}{} bezüglich dieser Basis. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} \maabb {p} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {kompakten}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} in natürlicher Weise einen \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { J(X)} {J(Y) } {} zwischen den zugehörigen \definitionsverweis {jacobischen Varietäten}{}{} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Verallgemeinere Satz 27.10 unter Verwendung der dortigen Notation, dass die Zuordnung $\omega \mapsto \sum_{i \in I} \int_{\gamma_i} \omega$ zum \definitionsverweis {Periodengitter}{}{} von $X$ gehört.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ {\mathbb C} /\Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {komplexer Torus}{}{} zu einem \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Setze Korollar 24.5, Korollar 28.9 und Satz 33.9 miteinander in Beziehung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} vom \definitionsverweis {Geschlecht}{}{} $g$. Zeige, dass es eine \zusatzklammer {bis auf die Wahl eines Punktes aus $X$} {} {} natürliche \definitionsverweis {surjektive}{}{} Abbildung \maabbdisp {} {X^g} { J(X) } {} gibt.

}
{} {}