Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 33/latex
\setcounter{section}{33}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten in der Situation von
Beispiel 24.8
die Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_1
}
{ = }{ { \frac{ dz }{ w } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_2
}
{ = }{ { \frac{ z dz }{ w } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $\Gamma { \left( X, \Omega_X \right) }$.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die
\definitionsverweis {Periodentupel}{}{}
für die Wege $\gamma, \theta \circ \gamma, \theta^2 \circ \gamma, \theta^3 \circ \gamma$ bezüglich dieser Basis.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Periodengitter}{}{}
bezüglich dieser Basis.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} \maabb {p} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {kompakten}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} in natürlicher Weise einen \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { J(X)} {J(Y) } {} zwischen den zugehörigen \definitionsverweis {jacobischen Varietäten}{}{} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Verallgemeinere Satz 27.10 unter Verwendung der dortigen Notation, dass die Zuordnung $\omega \mapsto \sum_{i \in I} \int_{\gamma_i} \omega$ zum \definitionsverweis {Periodengitter}{}{} von $X$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ {\mathbb C} /\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {komplexer Torus}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Setze
Korollar 24.5,
Korollar 28.9
und
Satz 33.9
miteinander in Beziehung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} vom \definitionsverweis {Geschlecht}{}{} $g$. Zeige, dass es eine \zusatzklammer {bis auf die Wahl eines Punktes aus $X$} {} {} natürliche \definitionsverweis {surjektive}{}{} Abbildung \maabbdisp {} {X^g} { J(X) } {} gibt.
}
{} {}