Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 6/latex
\setcounter{section}{6}
Nach
Satz 2.1
ist eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen lokal biholomorph äquivalent zu einer Potenzierung
\mathl{w \mapsto w^k}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht das Urbild von $z$ unter dieser Abbildung aus den $k$ verschiedenen $k$-ten Wurzeln von $z$. Insbesondere sind außerhalb von gewissen Ausnahmenmengen
\zusatzklammer {den Verzweigungspunkten} {} {}
holomorphe Abbildungen zumindest lokal von einer topologisch einfachen Bauart. Das topologisch relevante Konzept ist das einer Überlagerung.
\zwischenueberschrift{Überlagerungen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Covering map.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Covering map.svg } {} {Johannes Spielmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{
}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
heißt
\definitionswort {Überlagerung}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{\bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Familie
\definitionsverweis {diskreter}{}{}
topologischer Räume
\mathbed {F_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
derart gibt, dass
\mathl{p^{-1}(U_i)}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zu
\mathl{U_i \times F_i}{}
\zusatzklammer {versehen mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}} {} {}
ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach $U_i$ verträglich sind.
}
Eine Abbildung der Form
\maabbdisp {} {U \times F} {U
} {}
mit einem diskreten Raum $F$ nennt man \stichwort {triviale Überlagerung} {} von $U$, der Überlagerungsraum besteht einfach aus $F$-vielen disjunkten Kopien das Basisraumes $U$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man dann die zu $U$ homöomorphe Teilmenge
\mathl{U \times \{P\}}{} ein \stichwort {Blatt} {} der Überlagerung über $U$. Lokal ist jede Überlagerung trivial, nach Definition liegen ja kommutative Diagramme
\mathdisp {\begin{matrix} p^{-1} (U_i) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & U_i \times F_i & \\ & \!\!\! \!\! p \searrow & \downarrow & \\ & & U_i & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
mit horizontalen Homöomorphien vor. Deshalb sind hauptsächlich globale Eigenschaften einer Überlagerung interessant. Unter schwachen Voraussetzungen
\zusatzklammer {siehe
Lemma 6.4} {} {}
gibt es nur einen diskreten Raum $F$.
\inputbeispiel{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} {w^n
} {,}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w^n
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{{\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung, die
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \defeq }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abbildet. Eine solche Menge gibt es nach
Korollar 1.11
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi'(w)
}
{ = }{ nw^{n-1}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Menge der $n$-ten
\definitionsverweis {komplexen Einheitswurzeln}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ =} { { \left\{ \zeta \in {\mathbb C} \mid \zeta^n = 1 \right\} }
}
{ =} { \{ e^{ { \frac{ 2 \pi k { \mathrm i} }{ n } } }{{|}}\, k= 0 , \ldots , n-1 \}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
siehe
Lemma 21.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Wir können $V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle $n$-ten
Einheitswurzeln
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die offenen Mengen
\mathkor {} {V} {und} {\mu_\zeta(V)} {}
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
sind. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} { \left( U \right) }
}
{ \cong} { \biguplus_{\zeta \in E_n} \mu_{\zeta} (V)
}
{ \cong} { U \times E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Die Abbildung
\maabbeledisp {\exp} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} { \exp w
} {,}
ist eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.}
Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp w
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nach
Korollar 1.11
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \defeq }{ \exp \left( V \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abbildet. Durch Verkleinern von $V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen
\mathkor {} {V} {umd} {V+ 2 \pi k { \mathrm i}} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
sind. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp^{-1}(U)
}
{ \cong} { \biguplus_{k \in \Z} { \left( V + 2 k \pi { \mathrm i} \right) }
}
{ \cong} { U \times \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Topologie/Überlagerungen/Faser/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
und $X$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^{-1}(x)
}
{ \cong} { p^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine beliebige Überlagerung und
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Überdeckung von $X$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^{-1}(x)
}
{ \cong} { F_i
}
{ \cong} { p^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun $X$ zusammenhängend,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { { \left\{ y \in X \mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x) \right\} }
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist $T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der $p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch $X \setminus T$ offen. Da $X$ zusammenhängend ist, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit hängt die Mächtigkeit einer Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab. In
Beispiel 6.2
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in
Beispiel 6.3
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
$X$ und $Y$ heißt \definitionswort {lokaler Homöomorphismus}{,} wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $\varphi(U)$ offen in $Y$ ist und dass die Einschränkung
\maabbdisp {} {U} {\varphi(U)
} {}
ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{p(y)
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $p^{-1} (U)$ die disjunkte Vereinigung von zu $U$ homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss $y$ liegen.
Zu einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Inklusion ein lokaler Homöomorphismus, aber im Allgemeinen keine Überlagerung.
{Stetige Abbildung/Lokaler Homöomorphismus/Offene Abbildung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {offene Abbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.11. }
\inputfaktbeweis
{Topologie/Überlagerungen/Offenheit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {E} {X
} {}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {offene Abbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei einer Überlagerung gibt es enge Beziehungen zwischen zusätzlichen Strukturen auf dem Basisraum und auf dem Überlagerungsraum.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Überlagerung/Rückzug/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
von
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{,}
wobei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutige Struktur einer riemannschen Fläche auf $Y$ derart, dass $p$ zu einer
\definitionsverweis {holomorphen Abbildung}{}{}
wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 6.7
ist mit $X$ auch $Y$ hausdorffsch. Für eine offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die homöomorph auf $p(V)$ abgebildet wird, muss die komplexe Struktur auf $V$ die von $p(V)$ zurückgezogene holomorphe Struktur sein. Dies ergibt sich aus
Satz 2.3,
da eine holomorphe bijektive Abbildung bereits biholomorph ist. Es kann also höchstens eine komplexe Struktur auf $Y$ derart geben, dass die Abbildung holomorph wird. Zur Existenz überdecken wir $X$ mit offenen Mengen
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
über denen $p$ trivialisiert und wobei die $U_i$
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
Kartengebiete mit Karten
\maabbdisp {\alpha_i} {U_i} { U_i' \subseteq {\mathbb C}
} {}
sind. Es sei
\mathbed {V_{ij_i}} {}
{j_i \in J_i} {}
{} {} {} {,}
die disjunkte Zerlegung von
\mathl{p^{-1}(U_i)}{.} Wir definieren Karten auf $V_{i,j_i}$ durch
\maabbdisp {\beta_{i,j_i} \defeq \alpha_i \circ p_{j_i}} {V_{i,j_i}} { U_i'
} {.}
Seien
\mathkor {} {V_{i,j_i}} {und} {V_{k,\ell_k}} {}
zwei solche Mengen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p { \left( V_{i,j_i} \cap V_{k,\ell_k} \right) }
}
{ =} { U_i \cap U_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Holomorphie der Übergangsabbildung folgt aus der Holomorphie der Kartenwechsel auf $X$.
Diese Aussage gilt auch allgemeiner für komplexe Mannigfaltigkeiten.
\zwischenueberschrift{Liftungen}
Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Wege und Homotopien entlang der Überlagerung geliftet werden können.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}
und einem
\definitionsverweis {stetigen Weg}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X
} {}
nennt man einen stetigen Weg
\maabbdisp {\tilde{\gamma}} {[0,1]} {Y
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma
}
{ =} { p \circ \tilde{\gamma}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionswort {Liftung}{}
von $\gamma$.
}
\inputfaktbeweis
{Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{,}
\maabb {\gamma} { I } {X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p(z)
}
{ = }{ \gamma(0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau einen stetigen Weg
\maabbdisp {\tilde{\gamma}} {I} { Y
} {}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ \tilde{\gamma}
}
{ = }{ \gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}(0)
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \gamma(I)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U_x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $p$ oberhalb von $U_x$ trivialisiert, d.h.
\mathl{p^{-1} (U_x)}{} ist die disjunkte Vereinigung von zu $U_x$ über $p$
\definitionsverweis {homöomorphen}{}{}
offenen Teilmengen von $Y$. Aufgrund der
\definitionsverweis {Kompaktheit}{}{}
von $\gamma(I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n}{} mit dieser Eigenschaft und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_{i+1} \cap \gamma(I)
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$
\zusatzklammer {da $\gamma(I)$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist} {} {}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(1)
}
{ \in }{ U_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_i
}
{ = }{\gamma(t_i)
}
{ \in }{ U_i \cap U_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit aufsteigenden Zeitpunkten $t_i$. Es sei $V_1$ diejenige zu $U_1$ homöomorphe Teilmenge von $Y$, die $z$ enthält. Dann gibt es für den auf
\mathl{[0, t_1]}{} eingeschränkten Weg nur die Liftung
\mathl{p {{|}}_{V_i}^{-1} \circ \gamma{{|}}_{[0,t_1]}}{.} Dieser Weg hat für $t_1$ einen eindeutigen Endpunkt in $Y$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1
}
{ =} { \tilde{\gamma}(t_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_2
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
homöomorph zu $U_2$ und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten $\tilde{\gamma}$ nach
\mathl{[t_1,t_2]}{.} So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.
\zwischenueberschrift{Decktransformationen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabb {p} { Y } {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
von $X$. Ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
\maabb {f} { Y } { Y
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ f
}
{ = }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {Decktransformation}{}
der Überlagerung.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabb {p} { Y } {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
von $X$. Die Menge der
\definitionsverweis {Decktransformationen}{}{}
von $Y$ über $X$, versehen mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{,}
heißt
\definitionswort {Decktransformationsgruppe}{}
der Überlagerung. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{Deck} { \left( Y {{|}} X \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Zur
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} {w^n
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Decktransformationsgruppe}{}{}
gleich der Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {komplexen Einheitswurzeln}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ =} { { \left\{ \zeta \in {\mathbb C} \mid \zeta^n = 1 \right\} }
}
{ =} { \{ e^{ { \frac{ 2 \pi k { \mathrm i} }{ n } } }{{|}}\, k= 0 , \ldots , n-1 \}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
siehe
Lemma 21.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Dabei wirkt eine Einheitswurzel $\zeta$ durch die Multiplikation
\maabbeledisp {\mu_\zeta} { {\mathbb C} ^{\times}} { {\mathbb C} ^{\times}
} {z} { \zeta z
} {,}
als Decktransformation. Die Gesamtzuordnung
\maabbdisp {} { E_n } { \operatorname{Deck} { \left( {\mathbb C} ^{\times} {{|}} {\mathbb C} ^{\times} \right) }
} {}
ist offenbar
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
und ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Bei einer beliebigen Decktransformation
\maabbdisp {\theta} {{\mathbb C} ^{\times}} {{\mathbb C} ^{\times}
} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \defeq }{ \theta(1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $n$-te Einheitswurzel. Daraus folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta
}
{ = }{ \mu_\zeta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
Lemma 6.16.
}
\inputbeispiel{}
{
Zur
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabbeledisp {\exp} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} { \exp w
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Decktransformationsgruppe}{}{}
gleich der Gruppe der
\definitionsverweis {ganzen Zahlen}{}{}
$\Z$. Dabei wirkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch die Addition
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {w} { w +n 2 \pi { \mathrm i}
} {,}
als Decktransformation. Dass es sich um eine Decktransformation handelt beruht auf den Periodizitätseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion, siehe
Satz 21.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Daraus ergibt sich auch, dass
\maabbdisp {} { \Z } { \operatorname{Deck} { \left( {\mathbb C} {{|}} {\mathbb C} ^{\times} \right) }
} {}
ein injektiver
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist. Nach
Lemma 6.16
ist dies sogar ein Isomorphismus.
}
\inputfaktbeweis
{Überlagerung/Decktransformation/Bestimmtheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dabei sei $Y$
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{,}
\definitionsverweis {lokal wegzusammenhängend}{}{}
und
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist eine
\definitionsverweis {Decktransformation}{}{,}
die einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt, bereits die Identität.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $\varphi$ die Decktransformation. Wir betrachten die Menge
\mathl{{ \left\{ y \in Y \mid \varphi(y) = y \right\} }}{,} die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen $Y$
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{}
ist die Fixpunktmenge nach
Aufgabe 6.20
abgeschlossen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Fixpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p(y)
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass $U$ wegzusammenhängend ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die entsprechende offene Umgebung von $y$. Dann ist $V$ und somit auch $\varphi(V)$ zusammenhängend und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(y)
}
{ = }{y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(V)
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y'
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(y')
}
{ \in }{ V \cap p^{-1} (p(y'))
}
{ = }{ \{ y' \}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $\varphi$ auf $V$ die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von $Y$ ist sie dann gleich ganz $Y$.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
heißt \stichwort {normal} {,} wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem Punktepaar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_1,y_2
}
{ \in }{ p^{-1}(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Decktransformation}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {Y} {Y
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(y_1)
}
{ = }{ y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Die Überlagerungen aus Beispiel 6.2 und aus Beispiel 6.3 sind normal.
\zwischenueberschrift{Endliche Überlagerungen}
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} \maabb {p} {Y} {X } {} heißt \stichwort {endlich} {,} wenn jede \definitionsverweis {Faser}{}{} eine endliche Menge ist.
}
Eine stetige Abbildung heißt \definitionsverweis {endlich}{}{} \zusatzklammer {im topologischen Sinne} {} {,} wenn die Fasern endliche Mengen sind und wenn die Abbildung \definitionsverweis {eigentlich}{}{} ist, also Urbilder von kompakten Mengen stets wieder kompakt sind.
\inputfaktbeweis
{Topologische Räume/Endliche Überlagerung/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive}{}{}
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
mit $Y$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und $X$
\definitionsverweis {lokal wegzusammenhängend}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$p$ ist eine
\definitionsverweis {endliche Überlagerung}{}{.}
}{$p$ ist eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
und
\definitionsverweis {endlich}{}{.}
}{$p$ ist ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{,}
der
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2). Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
mit dem Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \defeq }{ p^{-1} (T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq} { \bigcup_{i \in I} W_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung. Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $j (y)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ W_{j(y) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ y_1
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien $y_2 , \ldots , y_n$ die weiteren Punkte, die auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{p(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abbilden. Zu den offenen Umgebungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_k
}
{ \in }{ W_{j(y_k)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U_x
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
über der $p$ trivialisiert und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_k
}
{ \in }{ V_k
}
{ \subseteq }{ p^{-1} (U_x) \cap W_{j(y_k)}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $V_k$ das Blatt zu $y_k$ bezeichnet. Diese offenen Mengen bilden eine verfeinerte Überdeckung der Ausgangsüberdeckung. Die $U_x$ bilden dann eine offene Überdeckung von $T$ und somit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung
\mathl{U_1 , \ldots , U_m}{.} Die zugehörigen Blätter $V_{jk}$ bilden dann eine endliche Überdeckung von $S$
Von (2) nach (3) ist klar.
Von (3) nach (1). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und seien
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} die Urbildpunkte von $x$. Zu jeden $y_j$ gibt es eine offene Umgebung $V_j$, die homöomorph auf $U_j$ abbildet. Man betrachtet die offene Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ \defeq} { \bigcap_{j \in J} U_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ersetzt die $V_j$ durch $V_j \cap p^{-1}(U)$. Durch eine weitere Verkleinerung können wir erreichen, dass $U$ und damit auch die $V_j$ wegzusammenhängend ist. Wir behaupten, dass $\biguplus_{j \in J} V_j$ das Urbild von $U$ ist. Nehmen wir an, es gebe einen Punkt $y$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p(y)
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der auf keinem $V_j$ liegt. Wir betrachten einen Verbindungsweg
\maabbdisp {\gamma} {[0,1] } { U
} {}
von $p(y)$ nach $x$. Das Urbild von $\gamma([0,1])$ ist kompakt. Es enthält die kompakten Kopien innerhalb von $V_j$. Zu $y$ gibt es eine offene Umgebung $V$, die homöomorph nach $X$ abbildet und darin gibt es eine Liftung des Teilweges durch $y$. Es sei $s$ das Supremum der reellen Zahlen $t$, für die eine
\definitionsverweis {stetige Liftung}{}{}
$\tilde{\gamma}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma} (0)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert ist. Wegen
Aufgabe 6.15
ist die Liftung eindeutig und dieser Weg ist auf
\mathl{[0,s[}{} definiert. Aufgrund der Eigentlichkeit ist dies auch für $s$ definiert. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung von
\mathl{\tilde{\gamma} (s)}{,} die homöomorph auf eine offene Teilmenge von $X$ abbildet und somit würde es eine weitere Fortsetzung des Liftungsweges geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit endet die Liftung in einem der Punkte über $x$, sagen wir in $y_1$. Dann muss aber diese Liftung mit der Liftung innerhalb von $V_1$ übereinstimmen und damit ist selbst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ V_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In der Situation der vorstehenden Aussage ist, wenn der Basisraum zusammenhängend ist, die Anzahl der Elemente einer jeden Faser konstant. Man spricht von der \stichwort {Blätterzahl} {} von $p$.