Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Der Modul der Kähler-Differentiale}
Der Tangentialraum zu einer polynomialen Abbildung
\maabb {f} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ m } }
} {}
mit dem Nullstellengebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_P V
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \left( \operatorname{Jak}(f_1 , \ldots , f_m )_P \right)
}
{ =} {{ \left\{ v \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \mid \operatorname{Jak} (f_1 , \ldots , f_m )_P (v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $P$ ein regulärer Punkt der Abbildung ist und man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so handelt es sich um einen linearen Unterraum, dessen Dimension mit der (Mannigfaltigkeits-)Dimension von $V$ übereinstimmt. Diese Konstruktion ist extrinsisch, sie hängt von der Einbettung von $V$ in den affinen Raum ab. Wir möchten eine intrinsische Version des Tangentialraumes vorstellen, der nur von $V$ bzw. dem affinen Koordinatenring abhängt. Dazu führen wir den Modul der Kähler-Differentiale ein, der für jede
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$A$ eine duale Version des Tangentialraumes liefert.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und $M$ ein
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Dann heißt eine
$R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\delta} {A} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (ab)
}
{ =} {a \delta (b) + b \delta (a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{a,b \in A}{} eine
\definitionswortpraemath {R}{ Derivation }{}
\zusatzklammer {mit Werten in $M$} {} {.}
}
Die dabei verwendete Regel nennt man \stichwort {Leibniz-Regel} {.} Oft ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für den Polynomring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind beispielsweise die $i$-ten
\zusatzklammer {formalen} {} {}
partiellen Ableitungen
\mathdisp {{ \frac{ \partial }{ \partial X_i } }} { }
$R$-Derivationen von $A$ nach $A$. Die Menge der Derivationen von $A$ nach $M$ ist in natürlicher Weise ein
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Er wird mit
\mathl{\operatorname{Der}_{ R } { \left( A , M \right) }}{} bezeichnet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Der von allen Symbolen
\mathbed {d(a)} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,}
erzeugte
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{,}
modulo den Identifizierungen
\mathdisp {d(ab) =ad(b) + bd(a) \text{ für alle } a,b \in A} { }
und
\mathdisp {d (ra +sb)= rd(a) +sd(b) \text{ für alle } r,s \in R \text{ und } a,b \in A} { , }
heißt \definitionswort {Modul der Kähler-Differentiale}{}
von $A$ über $R$. Er wird mit
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R }} { }
bezeichnet.
}
Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien $A$-Modul $F$ mit
\mathbed {da} {}
{a\in A} {}
{} {} {} {}
als Basis und bildet den
$A$-\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen
\mathdisp {d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A)} { }
und
\mathdisp {d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A )} { }
erzeugt wird. Die Abbildung
\maabbeledisp {d} {A } {\Omega_{ A {{|}} R }
} {a} {d(a) = da
} {,}
heißt die \stichwort {universelle Derivation} {.} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{}
handelt.
\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Dann besitzt der
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} der
\definitionsverweis {Kähler-Differentiale}{}{}
die folgende universelle Eigenschaft.}
\faktfolgerung {Zu jedem $A$-Modul $M$ und jeder
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{}
\maabbdisp {\delta} {A} {M
} {}
gibt es eine eindeutig bestimmte
$A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\epsilon} { \Omega_{ A {{|}} R } } {M
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon \circ d
}
{ = }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Für jedes
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,}
muss
\mathl{\epsilon (da) = \delta(a)}{} sein. Da die $da$ ein
$A$-\definitionsverweis {Modul-Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei $F$ der
\definitionsverweis {freie Modul}{}{}
zur
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {.}
Die Zuordnung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\epsilon} (da)
}
{ = }{ \delta (a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
legt
nach dem Festlegungssatz
einen
$A$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\epsilon}} {F} {M
} {}
fest. Es ist
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R } =F/U}{,} wobei $U$ der von den Elementen
\definitionsverweis {erzeugte Untermodul}{}{}
ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da $\delta$ eine Derivation ist, wird $U$ unter $\tilde{\epsilon}$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es
nach dem Homomorphiesatz
eine eindeutige $A$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\epsilon} { \Omega_{ A {{|}} R } \cong F/U} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \epsilon (da)
}
{ =} { \tilde{\epsilon} (da)
}
{ =} { \delta (a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche
$A$-\definitionsverweis {Modulisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Der}_{ R } { \left( A , M \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Hom}_{ A } { \left( \Omega_{ A {{|}} R } , M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt. Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Der}_{ R } { \left( A , A \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Hom}_{ A } { \left( \Omega_{ A {{|}} R } , A \right) }
}
{ =} { { \Omega_{ A {{|}} R } }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei rechts der Dualmodul genommen wird.
\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{dr
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Man kann
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R }} { }
als den Restklassenmodul des freien $A$-Moduls zur Basis
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,}
modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von
\mathbed {dr} {}
{r \in R} {}
{} {} {} {,}
erzeugt wird, beschreiben.
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathbed {dx_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
ein
$A$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{.}
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{R[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ = }{R[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das zugehörige Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{F { \left( x_1 , \ldots , x_n \right) }
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt in
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{df
}
{ =} { { \frac{ \partial F }{ \partial x_1 } } (x_1 , \ldots , x_n) dx_1 + \cdots + { \frac{ \partial F }{ \partial x_n } } (x_1 , \ldots , x_n) dx_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{{ \frac{ \partial F }{ \partial x_i } }}{} die $i$-te
\definitionsverweis {partielle Derivation}{}{}
bezeichnet.
}{Zu einem kommutativen Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ A & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & B & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei die Pfeile
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{}
repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte
$A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { \Omega_{ A {{|}} R } } { \Omega_{ B {{|}} S }
} {da} { d \varphi(a)
} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es sei $r \in R$. Wegen der $R$-Linearität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(r1)
}
{ = }{ r d(1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Produktregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (1)
}
{ =} { d (1 \cdot 1)
}
{ =} { 1 d (1) + 1 d (1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass durch Subtraktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d (1)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}{Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul $V$ mit dem Untermodul $U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar. Für
\mathl{a,b \in A}{} und
\mathl{r,s \in R}{} gilt modulo $V$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(ra+sb)
}
{ =} {d (ra) +d(sb)
}
{ =} { rda +adr + sdb +bds
}
{ =} { rda +sdb
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass also auch die Linearitätsrelationen zu $V$ gehören.
}{Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
}{Beide Seiten sind $R$-linear, so dass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
}{Da $B$ über
\maabb {\varphi} {A} {B
} {} eine $A$-Algebra ist, ist auch
\mathl{\Omega_{ B {{|}} S }}{} ein $A$-Modul. Die Verknüpfung
\mathdisp {A \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} B \stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{ B {{|}} S }} { }
ist eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{,} wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der
universellen Eigenschaft
von
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} gibt es eine eindeutig bestimmte
$A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\Omega_{ A {{|}} R } } {\Omega_{ B {{|}} S }
} {} mit
\mathl{d \varphi(a) = \tilde{\varphi} (da)}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen über $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
der
\definitionsverweis {freie}{}{}
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
zur
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {dX_1,dX_2 , \ldots , dX_n} { . }
}
\faktzusatz {Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
\maabbeledisp {} {A} { AdX_1 \oplus \cdots \oplus AdX_n
} {F} {dF = { \frac{ \partial F }{ \partial X_1 } } dX_1 + \cdots + { \frac{ \partial F }{ \partial X_n } } dX_n
} {,}
gegeben.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $G$ der von den Symbolen $dX_i$ erzeugte freie
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {G} { \Omega_{ A {{|}} R }
} {,}
die das Basiselement
\mathl{dX_i}{} auf das Differential $dX_i$ schickt, ist nach
Lemma 12.4 (3)
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
Die $i$-te
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {{ \frac{ \partial }{ \partial X_i } }} {A} {A
} {F} {{ \frac{ \partial F }{ \partial X_i } }
} {,}
ist eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{,}
so dass es aufgrund der
universellen Eigenschaft
des Moduls der Differentialformen eine
$A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {p_i} { \Omega_{ A {{|}} R } } {A
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_i \circ d
}
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial X_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_i(dX_i)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_i(dX_j)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Abbildungen ergeben zusammen eine $A$-lineare Abbildung
\maabbdisp {p = p_1 \times \cdots \times p_n} {\Omega_{ A {{|}} R }} {A^n \cong G
} {,}
für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ \varphi
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist $\varphi$ auch
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn $R$ ein Körper und $A$ der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe
Satz 21.6
und
Satz 21.7.
{Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A_S {{|}} R }
}
{ \cong} { { \left( \Omega_{ A {{|}} R } \right) }
_S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 13.9. }
\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {A} {B
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Sequenz
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } B \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} R } \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} A } \longrightarrow 0} { }
von $B$-Moduln
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei geht
\mathl{da \otimes b}{} auf
\mathl{b d \varphi(a)}{} und $db$
\zusatzklammer {in $\Omega_{ B {{|}} R }$} {} {}
auf $db$
\zusatzklammer {in $\Omega_{ B {{|}} A }$} {} {.}}
\faktzusatz {}
}
{
Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus
Lemma 12.4 (2).
Die beiden Moduln
\mathkor {} {\Omega_{ B {{|}} A }} {und} {\Omega_{ B {{|}} R }} {}
besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul
\mathl{\Omega_{ B {{|}} A }}{} ergibt sich aus $\Omega_{ B {{|}} R }$ gerade dadurch, dass man den von den
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,} erzeugten $B$-Untermodul zu $0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.