Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment
Einführung
BearbeitenZufallsgrößen mit einer Bernoulli-Verteilung (auch als Null-Eins-Verteilung, Alternativ-Verteilung[1] oder Boole-Verteilung[2] bezeichnet) benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Einer der Versuchsausgänge wird meistens mit Erfolg bezeichnet und der komplementäre Versuchsausgang mit Misserfolg. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man Erfolgswahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs.
Beispiele
Bearbeiten- Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei).
- Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht).
- Werfen einer Münze: Kopf (Erfolg), , und Zahl (Misserfolg), .
- Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg und "keine 6" als Misserfolg gewertet wird: , .
Geschichte
BearbeitenDie Bezeichnung Bernoulli-Versuch (Bernoullian trials nach Jakob I Bernoulli) wurde erstmals 1937 in dem Buch Introduction to Mathematical Probability von James Victor Uspensky verwendet[3].
Definition
BearbeitenSei ein Messraum mit als eine disjunkten Zerlegung von und einer Zufallsgröße
- Mit und
- nennt man Bernoulli-Verteilung auf dem Messraum .
Beschreibung
BearbeitenEine diskrete Zufallsgröße mit Werten in der Menge unterliegt der Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter , wenn sie der folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktion folgt
Zufallsgrößen und induzierte Verteilung
BearbeitenBeim Werfen eines Würfels hat man als mit der Gleichverteilung gegeben. Wenn bei einem Zufallsexperiment/Spiel nur wesentlich ist, ob man eine „6“ als Erfolg (1) und "keine 6" als Misserfolg (0) erhalten hat, kann man die Zufallsgröße verwenden. Als induzierte Verteilung der Gleichverteilung erhält man nun eine Bernoulli-Verteilung mit: , .
Veranschaulichung Wahrscheinlichkeitsfunktion
BearbeitenVerteilungsfunktion
BearbeitenDie Verteilungsfunktion ist dann
Man schreibt dann .
Bernoulli-Prozess
BearbeitenEine Reihe von unabhängigen identischen Versuchen, bei der jeder Einzelversuch der Bernoulli-Verteilung genügt, wird Bernoulli-Prozess oder bernoullisches Versuchsschema genannt. Diese sind z.B. beim Gesetz der großen Zahlen von Bedeutung.
Erwartungswert
BearbeitenDie Bernoulli-Verteilung mit Parameter hat den Erwartungswert:
Dies hat den Grund, dass für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit und gilt
Varianz und weitere Streumaße
BearbeitenDie Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz
denn es ist und damit
Damit ist die Standardabweichung
Beziehung zu anderen Verteilungen
BearbeitenEin Bernoulli-Experiment hängt mit anderen Zufallsexperiemten zusammen. Die folgenden Folien zeigen den Zusammenhang.
Beziehung zur Binomialverteilung
BearbeitenDie Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für . Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter genügt der Binomialverteilung, demnach ist die Bernoulli-Verteilung nicht reproduktiv. Die Binomialverteilung ist die -fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit .
Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung
BearbeitenDie Summe von voneinander unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen, die alle einen unterschiedlichen Parameter besitzen, ist verallgemeinert binomialverteilt.
Beziehung zur Poisson-Verteilung
BearbeitenDie Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt für , und einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter . Dies folgt direkt daraus, dass die Summe binomialverteilt ist und für die Binomialverteilung die Poisson-Approximation gilt.
Beziehung zur Zweipunktverteilung
BearbeitenDie Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Zweipunktverteilung mit . Umgekehrt ist die Zweipunktverteilung eine Verallgemeinerung der Bernoulli-Verteilung auf beliebige zweielementige Punktmengen.
Beziehung zur Rademacher-Verteilung
BearbeitenSowohl die Bernoulli-Verteilung mit als auch die Rademacher-Verteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass bei der Rademacher-Verteilung der Erfolg ebenso mit 1 aber der Misserfolg dagegen mit -1 unterschiedlich codiert werden.
Beziehung zur geometrischen Verteilung
BearbeitenBei Hintereinanderausführung von Bernoulli-verteilten Experimenten ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg (oder letzten Misserfolg, je nach Definition) geometrisch verteilt.
Beziehung zur diskreten Gleichverteilung
BearbeitenDie Bernoulli-Verteilung mit ist eine diskrete Gleichverteilung auf .
Urnenmodell
BearbeitenDie Bernoulli-Verteilung lässt sich auch aus dem Urnenmodell erzeugen, wenn ist. Dann entspricht dies dem einmaligen Ziehen aus einer Urne mit Kugeln, von denen genau rot sind und alle anderen eine andere Farbe besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, ist dann Bernoulli-verteilt.
Simulation
BearbeitenBei der Simulation macht man sich zunutze, dass wenn eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable auf ist, die Zufallsvariable Bernoulli-verteilt ist mit Parameter . Da fast jeder Computer Standardzufallszahlen erzeugen kann, ist die Simulation wie folgend:
- Erzeuge eine Standardzufallszahl
- Ist , gib 0 aus, ansonsten gib 1 aus.
Dies entspricht genau der Inversionsmethode. Die einfache Simulierbarkeit von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen kann auch zur Simulation von binomialverteilten oder verallgemeinert Binomialverteilten Zufallsvariablen genutzt werden.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, lSBN 978-3-642-45386-1, S. 63, doi:10.1007/978-3-642-45387-8
- ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, lSBN 978-3-642-21025-9, S. 254, doi:10.1007/978-3-642-21026-6
- ↑ James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937, Seite 45
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik., 4 Auflage, de Gruyter, 2009, lSBN 978-3-11-021526-7 .
Seiten-Information
BearbeitenDer Foliensatz wurde für den Kurs:Stochastik mit Wiki2Reveal über den Linkgenerator erstellt.
- Inhalte der Seite basieren auf:
- Wikipedia-Quelle erstellt:
- Bernoulli-Verteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Verteilung
- Datum: 11.11.2018
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