Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment/weitere Eigenschaften

Eigenschaften

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Variationskoeffizient

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Die Bernoulliverteilung hat folgenden Variationskoeffizient

 

Symmetrie

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Für den Parameter   ist die Bernoulli-Verteilung symmetrisch um den Punkt  .

Die Schiefe der Bernoulli-Verteilung ist

 

Dies kann folgendermaßen gezeigt werden. Eine standardisierte Zufallsvariable   mit   Bernoulli-verteilt nimmt den Wert   mit Wahrscheinlichkeit   an und den Wert   mit Wahrscheinlichkeit  . Damit erhalten wir für die Schiefe

 

Wölbung und Exzess

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Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist

 

und damit ist die Wölbung

 

Alle k-ten Momente   sind gleich und es gilt

 .

Es ist nämlich

 .

Entropie

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Die Entropie der Bernoulli-Verteilung ist

 

gemessen in Bit.

Der Modus der Bernoulli-Verteilung ist

 .

Der Median der Bernoulli-Verteilung ist

 

falls   gilt, ist jedes   ein Median.

Kumulanten

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Die kumulantenerzeugende Funktion ist

 .

Damit sind die ersten Kumulanten   und es gilt die Rekursionsgleichung

 

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

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Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

 

Charakteristische Funktion

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Die charakteristische Funktion ist

 .

Momenterzeugende Funktion

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Die momenterzeugende Funktion ist